WisFaq!

Het midden van een koorde van een parabool

Geachte heer/mevr
Hoe kan je bewijzen dat een lijnstuk bepaal door 2 punten van een parabool, dus de koorde van de parabool en een verschillende tweede koorde nooit hetzelfde midden hebben? Ik weet ni goe hoe er aan te beginnen...
Bedankt voor de moeite!

mieke devos
11-9-2002

Antwoord

Beste,

Stel je parabool voor door y=ax². Twee willekeurige punten zijn dan P(p,ap²) en Q(q,aq²). Hun midden is dan M(x,y)=((p+q)/2,a(p²+q²)/2).
We tonen aan dat P en Q eenduidig bepaald zijn door M. Als een ander stel punten P' en Q' dus eenzelfde midden M hebben, dan moeten P en Q samen vallen met P' en Q'.
Welnu, uit x=(p+q)/2 halen we: 4.x²=p²+2.p.q+q². We hebben ook y = a(p²+q²)/2 en dus: 2.y/a = p²+q². Door deze vergelijkingen van elkaar af te trekken krijgen we een uitdrukking voor p.q. We hebben dus een uitdrukking voor p+q en p.q. Hiermee zijn p en q eenduidig bepaald (x²-S.x+P=0). QED.

Groetjes,

Johan

andros
11-9-2002