WisFaq!

De afgeleide functie...

Kunt u mij uitleggen wat een afgeleide functie inhoudt en hoe je deze kunt berekenen?

Koen Hogeweg
10-9-2002

Antwoord

Bij functies horen grafieken en die hebben overal een bepaalde helling (of steilheid).
Om allerlei redenen (die je nog zult gaan zien) is het belangrijk om op elk moment te kunnen zeggen hoe groot de steilheid van de grafiek in een bepaald punt is. Die steilheid is overigens gedefinieerd als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het bewuste punt.
De afgeleide functie is nu niets anders dan een functie die ogenblik die steilheid van de grafiek geeft, zonder zelfs de grafiek of de raaklijn maar te tekenen.

Neem je bijv. de functie f(x) = 3x² - 5x + 2, dan zul je op school zien dat de afgeleide functie gelijk is aan f'(x) = 6x - 5.

Wil je nu weten hoe steil de parabool die bij functie f hoort is in het punt (2,4), dan hoef je de x-waarde 2 alleen maar in die f' in te vullen. Resultaat: 7.
Je ziet: geen grafiek gezien en tóch weten we nu dat er in het punt (2,4) een raaklijn tegen die parabool aanligt met rc = 7.

Het berekenen van afgeleide functies gaat in principe via het zogenaamde differentiequotiënt, maar dat is een methode die alleen bij min of meer simpele functies redelijkerwijze te doen is. Er komt namelijk nogal wat rekenwerk bij kijken, en dat is een aardige handicap als je het op die manier wilt doen.

Gelukkig blijken er een stuk of 5 regels te bestaan die het werk tot een aanvaardbare omvang terugbrengen.
In de komende periode zul je ze ongetwijfeld leren.
Ik geef er nu maar één, de zogenaamde exponentenregel.

Als f(x) = xⁿ, dan is f'(x) = n.x^n-1

In woorden: haal de exponent naar beneden en trek er vervolgens 1 af.

Voorbeeld: f(x) = x¹⁰⁰, dan f'(x) = 100.x⁹⁹

MBL
10-9-2002