WisFaq!

Bewijs meetkundige plaats

Hallo,

Ik heb een driehoek ABC met omgeschreven cirkel. Het hoogtepunt van de cirkel noem ik H. Ik weet dat hoek ACB constant is, wanneer punt C wordt verschoven over de cirkel.

Hoe bewijs ik nu dat de meetkundige plaats van H eveneens een cirkel is?

Vriendelijke groet,

Martijn

P.s. Als Cabri wordt gebruikt in het antwoord, hoe kan ik de figuren bekijken?

Martijn
11-1-2006

Antwoord

Je kunt eerst bewijzen dat ÐAHB+ÐACB=180° zie:Bewijzen van een meetkundige plaats.
Teken nu de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. C ligt op deze cirkel
De truc van het verdere bewijs is nu dat je de hele figuur, driehoek ABC, punt H en de omgeschreven cirkel van driehoek ABC spiegelt in AB.
Noem het spiegelbeeld van H H'.
Nu geldt ÐAH'B=ÐAHB. (tengevolge van de spiegeling)
Maar omdat ÐAHB+ÐACB=180° geldt ook ÐAH'B+ÐACB=180°
Dus vierhoek AH'BC is een koordenvierhoek. Dus H' ligt op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
Maar dan ligt H op het spiegelbeeld van deze cirkel.

hk
11-1-2006