WisFaq!

Omwentelingslichaam

je hebt de fucntie f(x) = -X²+4X+3. G is het gebied ingesloten door de grafiek van f en de lijn y=3. de inhoud van de omwentelingslichaam L, als G om de x-as wordt gewenteld kom ik wel uit. Maar ik heb er moeite mee als ze nu vragen dat G wordt gewenteld om de lijn y=3. Zo ontstaat het omwentelingslichaam L'. Bereken inhoud van L'. Ik weet niet zo goed wat ik moet doen.

VErder had ik nog een vraag, stel je hebt de functie fp(x)=p(p²-X²). G is het vakdeel ingesloten door de grafiek van f, x-as en de y-as. De inhoud van het lichaam dat onstaat als G wordt gewenteld om de x-as is gelijk aan 9/4 pi. bereken P. Waar ik vastzit heirbij is het volgende:
pP²X - 1/3pX^3=9/4 pi
hoe kom je dan aan je antwoord (antwoord zelf intreseert me niet zozeer maar meer om uw methode).

Alvast bedankt voor het beantwoorden van me vragen!1

vash
7-1-2006

Antwoord

Beste Vash,

Dat eerste lukt dus blijkbaar, ik heb het zelf snel nagerekend en als ik me niet vergis dan is de inhoud daarvan 1472p/15.

Voor dat tweede helpt het als je de grafiek even bekijkt. De formules die we hebben werken eigenlijk alleen voor wenteling om de x-as (of na een aanpassing ook evt. om de y-as), maar niet om een willekeurige lijn. Maar de lijn y = 3 is evenwijdig met de y-as ligt gewoon 3 eenheden hoger.
Als we onze functie f(x) nu gewoon 3 plaatsen laten zakken, dan valt de omwentelingslijn mooi samen met de x-as! Het omwentelingsvolume en de grenzen blijven onveranderd, dus ipv f(x) = -x²+4x+3 te wentelen om y = 3 kunnen we gewoon de functie f(x) = -x²+4x laten wentelen om de x-as, en dat ken je!

Bij de tweede vraag heb je de primieve bepaald, maar die kan je nog niet gelijkstellen aan het gevraagde volume. De inhoud wordt gegeven door een bepaalde integraal, van p f(x)² tussen de juiste grenzen.
Het gebied wordt begrensd door de functie zelf en de twee assen, dus we hebben de x-coördinaten nodig van de snijpunten met deze assen. Met de y-as is dat natuurlijk x=0 en met de x-as moet je y gelijk aan 0 stellen. Voor deze functie vinden we dan nulpunten op x = ±p, waarschijnlijk bedoelen ze het positief deel (maar het is toch symmetrisch).

Stel nu je integraal op, de grenzen zijn van 0 tot p. Dan krijg je het volume in functie van p, stel dit gelijk aan het opgegeven volume en los op naar p.

mvg,
Tom

td
8-1-2006