WisFaq!

Re: Wat klopt er niet?

Dit is toch niet te bewijzen? Je kunt bijvoorbeeld niet uitrekenen hoeveel F(1)• F(2)+ F(2)• F(3)+ F(3)·F(4) is. Je moet er dan per se ook F(4)· F(5) bij optellen, want anders kun je geen n vinden, waar het aan voldoet... Kunt u me dan aan dit bewijs helpen?

Klaas-Jan
6-1-2006

Antwoord

Het gaat heel eenvoudig met inductie.
We nemen de situatie: F(1)=0 en F(2)=1
Te bewijzen:
F(1)• F(2)+ F(2)• F(3)+ ... + F(2n)• F(2n+1) = F(2n+1)² Bewijs met inductie:

Startwaarde n=1:
F(1)• F(2) + F(2)• F(3)=0+1=1=1²=(F(3))² OK

Inductiehypothese, stel het geldt voor (n-1):

We nemen dus aan: F(1)• F(2)+ F(2)• F(3)+ ... + F(2n-2)• F(2n-1) = F(2n-1)² Tel links en rechts F(2n-1)• F(2n) + F(2n)• F(2n+1) op zodat het linker lid gelijk wordt aan het linker lid van de te bewijzen identiteit.
Dan krijg je in het linker lid:
F(1)• F(2)+ F(2)• F(3)+ ... + F(2n)• F(2n+1)
Dus moeten we nog bewijzen dat de rechterleden ook gelijk zijn, ttz:
F(2n-1)² + F(2n-1)• F(2n) + F(2n)• F(2n+1) = F(2n+1)² of (breng alles naar het linker lid)

F(2n-1)²-F(2n+1)²+F(2n-1)• F(2n) + F(2n)• F(2n+1) = 0

of (door merkwaardig product en afzonderen)

(F(2n-1)+F(2n+1))*(F(2n-1)-F(2n+1)) + (F(2n-1)+F(2n+1))• F(2n) =0

en aangezien F(2n+1)-F(2n-1)=F(2n) is deze laatste identiteit geldig, en dus ook alle andere. Daarmee is de gestelde identiteit via volledige inductie bewezen. Als je er niet meteen wijs uit raakt, lees dan alles nog eens rustig opnieuw...

Koen

km
8-1-2006