WisFaq!

Re: Ellips en parabool snijden elkaar loodrecht

Ik kom aan de punten (√¹/₂a²-px, (2p√¹/₂a²-px)/y)
en dezelfde met een negatieve y-coördinaat. Ziet eruit als behoorlijk wat rekenwerk...Nu ben ik hier al een behoorlijke tijd mee bezig, maar kom tot nietsuit..
Klopt het dat ik deze punten in moet vullen in de vrg. van de raaklijnen?
Voor de ellips 2x²+y²=a² $\to$ xx/a²+yy/b²=1
Voor de parabool y²=2px $\to$ yy=px+px
Ik dacht dat als ik dan de rico's zou vermenigvuldigen aan -1 zou komen, maar ik herken er niets in.....

iris
6-1-2006

Antwoord

Beste Iris,

Je snijpunt bevat nog x en y, dat lijkt me wel vreemd... Je zal inderdaad twee snijpunten vinden (zelfde x-coördinaat, tegengestelde y-coördinaat) maar dat moet je dan toch nog eens narekenen, want daar mag geen x of y meer in voorkomen. Daarna kan je die inderdaad in de vergelijkingen van de raaklijnen steken, oplossen naar y om dan de coëfficiënt van x af te lezen, dat is namelijk de rico. Hun product moet inderdaad -1 zijn en ik heb het voor je nagerekend: dat klopt.

Helaas is dat erg vervelend rekenwerk met een hoop wortels, zoals je ziet. Vandaar dat ik toch aanraad mijn vorig advies te volgen en het op een andere manier aan te pakken, als je de nodige begrippen kent natuurlijk.

Als je al van de gradiënt gehoord hebt kan je proberen wat ik eerder voorstelde. Bepaal van de ellips en van de parabool de gradiënt, maak het scalair product en druk uit dat dat 0 moet zijn, dan staan de gradiënten en dus ook de curves in dat punt loodrecht op elkaar. Zo krijg je een vergelijking waaraan punten (x,y) moeten voldoen zodat de ellips en de parabool loodrecht snijden. Je zal dan tot de vaststelling komen dat je terug de vergelijking van de parabool krijgt, met andere woorden: het geldt altijd, onafhankelijk van het snijpunt.

Een andere manier om het te zien komt van collega hk:

Om de richtingen te bepalen zoeken we van de ellips en de parabool de afgeleide van y naar x. We zoeken deze dy/dx door middel van impliciet differentiëren.
Voor de ellips geeft het differentiëren van beide leden: 4xdx + 2ydy = 0 $\Leftrightarrow$ dy/dx = -2x/y
Bij de parabool: 2ydy = 2pdx $\Leftrightarrow$ dy/dx = p/y maar uit de vergelijking volgt ook dat p = y²/(2x) dus dy/dx = (y²/(2x))/y = y/(2x)

Als we nu beide richtingen vermenigvuldigen vinden we: (-2x/y).y/(2x) = -1

mvg,
Tom

td
6-1-2006