WisFaq!

Primitiveren

Als bij differentien a x de functie wordt gedaan wordt er bij primitiveren telkens 1/a x de functie gedaan.
Bijvoorbeeld:
f = e ^ (ax+b) f(x)' = a x e ^ (ax+b)
F(x) = 1/a x e ^ (ax+b)
Dat is dus de kettingregel. Bij het differentieren snap ik die dan nog wel, want de a is de afgeleide van ax+b, maar bij primitiveren is 1/a niet de primitieve van ax+b. Maar waar komt dat 1/a dan wel vandaan?
Meer voorbeelden:
f (x) = 1/(ax+b) f(x)'= -1 x(ax+b)^-2 x a = -a/(ax+b)² F(x) = 1/a ln[ax+b] + c
f (x) = sin (ax+b) f (x)' = a x cos (ax+b)
F (x) = - 1/a x cos (ax+b) +c

Mindy
3-1-2006

Antwoord

Beste Mindy,

Je moet opletten met het proberen van alle regels voor differentiëren "om te keren" zodat ze gelden voor primitiveren, je maakt zo makkelijk fouten. Wat de kettingregel betreft heb je gelijk, maar dat is enkel bij differentiëren.

Voordat ik je laat zien waar die 1/a vandaan komt probeer ik te tonen dat het in ieder geval wel logisch is. Immers, als je een functie eerst primitiveert en dan weer afleidt, dan moet je de oorspronkelijke functie vinden. Dus, als de primitieve van e^(ax+b) gelijk is aan e^(ax+b)/a, dan moet de afgeleide van e^(ax+b)/a terug e^(ax+b) geven. Ga eens na!

Nu, we weten dat de primitieve van e^x gelijk is aan e^x (+C). Als er echter niet gewoon "x" als exponent staat, dan moet je een substitutie uitvoeren.

òe^(ax+b) dx
® stel ax+b = u Û x = (u-b)/a Û dx = 1/a du
® òe^u 1/a du = 1/a òe^u du = 1/a e^u (+C) = 1/a e^(ax+b) (+C)

Als je substitutie niet gezien hebt, dan heb je dit waarschijnlijk gedaan door de "dx" aan te passen zodat er de exponent van de e-macht staat, maar ook dan moet je die veranderingen corrigeren.

òe^(ax+b) dx = 1/a òe^(ax+b) d(ax) = 1/a òe^(ax+b) d(ax+b) = 1/a e^(ax+b) (+C)

mvg,
Tom

td
3-1-2006