WisFaq!

F(z)=Log z

Gegeven is f(z)= Log z.

Teken in het complexe vlak het beeld van
{z / 1/z/4} onder f.


Het volgende had ik gedaan:
Log z=ln /z/ + i Argz
Voor verschillende waarden waarvan geldt /z/=1 of /z/=4 heb ik het beeld bepaald en aan de hand daarvan het gevraagde beeld getekend. Maar dit was niet goed, maar hoe moet ik het dan aanpakken??

BVD
Tjen

Tjen
30-12-2005

Antwoord

De gegeven verzameling is de verzameling re^iq met 1r4 en -pqp.
ln(z) is gedefineerd als ln(r)+iq, dus ln(z) is de verzameling a+bi met 0aln(4) en -pbp. Dit gebied is een rechthoek met hoekpunten (0,-p), (0,p) (ln(4),-p) en (ln(4),p).

Maar:
Ln(re^iq)=ln(re^iq)+2kip. (let op de hoofdletter)
Dat wil zeggen ln(z) is de hoofdtak van Ln(z).
Het beeld van de gegeven verzameling onder Ln(z) is dus een oneindige strook tussen a=0 en a=ln(4). De rechthoekjes zetten zich dus periodiek naar boven en naar onder voort.

hk
31-12-2005