WisFaq!

Is het interval <1/3,3/7> overaftelbaar oneindig?

Hallo,
De vraag luidt: Cantor bewees dat 0,1 een overaftelbaar oneindige verzameling is. Gebruik dit gegeven om te bewijzen dat ook 1/3,3/7 een overaftelbaar oneindige verzameling is.

Nu snap ik wel hoe Cantor dit met zijn diagonaalmethode deed. En ik kan dit ook wel nadoen voor het gevraagde interval: Construeer een nieuw getal door de eerste decimaal 3 te kiezen, de tweede decimaal verschillend van de tweede decimaal van het eerste getal, de derde decimaal verschillend van de derde decimaal van het tweede getal, enz.
Maar in de vraag staat "Gebruik dit gegeven om te bewijzen...enz"
Ik mag er toch niet van uit gaan dat een deelverzameling van een overaftelbaar oneindige verzameling zelf ook overaftelbaar oneindig is. (Bv. is het niet)
Ik vermoed dat ik iets moet doen met het feit dat het om een aaneengesloten deelinterval gaat.
Hoe kan ik nu met een beetje redeneren tot het bewijs komen?

Vr. groeten,
Gerrit.

Gerrit
27-12-2005

Antwoord

Dag Gerrit,

Je kan wel gebruiken dat een bijectie tussen twee verzamelingen garandeert dat deze twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben, dwz evenveel elementen. Dus als je een bijectie kan vinden tussen het interval [0,1] en het interval [1/3, 3/7] en je weet dat [0,1] overaftelbaar oneindig veel elementen bevat, dan ben je er. Nu is zo een bijectie gelukkig niet zo moeilijk te vinden (denk aan een rechte...) Lukt dat dan zo verder? Zo zal je trouwens inderdaad kunnen aantonen dat elk interval in overaftelbaar oneindig veel elementen bevat (behalve de triviale intervallen als [a,a] en zo natuurlijk)

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-12-2005