WisFaq!

Re: Lienard systemen

Hallo,

Ik heb al een reactie gegeven maar ik heb bijna het antwoord op de vraag, voor welk a er geen per opl bestaat, gevonden maar ik heb hier nog een vraag over.

Beschouw het Lienard syteem:
x'=y-F(x)
y'=-x

f(x)=F'(x)
1.f(x) is Lipschitz continu in R (reële getallen).
2.F(x) is oneven.
3.F(x) gaat naar oneindig als x naar oneindig gaat.En er bestaat een constante b0 zodat voor xb, F(x)0 en monotoon stijgend.
4.Er bestaat een constante c0 zodat voor 0xc, F(x)0.

De volgende stelling moet ik gebruiken:
Stelling (Lienard)
Als voldaan wordt aan de conditied 1t/m4 for het Lienard systeem dan is er tenminste één periodieke oplossing.Als bovendien a=b, dan bestaat er precies één oplossing en dit is de w-limietverzameling voor alle oplossingen behalve het kritieke punt (0,0).

Er geldt: F(x)=x(x^2+a)

Vragen:
1.|(3x^2+a)-(3y^2+a)|=K|x-y|
|(3(x^2-y^2)|=|3(x+y)(x-y)|
nu weet ik niet hoe ik verder moet.
2.is gelukt.
3 en 4:
Allereerst moet a0 zijn, want anders bestaan er geen b en c die aan de voorwaarden voldoen.
Ik heb voor enkele a's een plaatje gemaakt en zag dat er moet gelden: b=c=-a.Hoe kan ik dit nu voor algemene a formuleren?

En wat gebeurt er als a naar 0 gaat?

Groeten,
Viky

viky
21-12-2005

Antwoord

1. f is niet globaal Lipschitz continu; hij is wel lokaal Lipschitz: op de strook {(x,y):-MxM} kun je K=2M nemen. Dat is waarschijnlijk genoeg.
3 en 4: je hebt het in feite al voor alle a0 geformuleerd; behalve dan dat je
b=c=sqrt(-a) moet hebben.

Voor a=0 is de oorsprong een aantrekker: de functie V(x,y)=x^2+y^2 is dan een Lyapunovfunctie die laat zien dat lim(x(t),y(t))=(0,0) voor elke oplossing.

Voor a0 blijft dat zo: de oorsprong trekt alle oplossingen aan.

kphart
23-12-2005