WisFaq!

Pauli matrices

Zij V de lineair deelruimte van M₂ (C), bestaande uit alle matrices met â^t=A

Waar â is de complex geconjugeerde van A

Zij X₁=(0 1) X₂=(0 -i)
(1 0) (i 0)

X₃= (1 0)
(0-1)

Waar X_1,X_2 en X_3 zijn de zgn Pauli matrices.

Te bewijzen dat {I₂,X₁,X₂,X₃} een R-basis van V

Kan iemand mij helpen om dit te bewijzen.Alvast bedankt

Zaek
18-12-2005

Antwoord

Hallo,

Zoals altijd als je wil bewijzen dat een bepaalde deelverzameling van een vectorruimte een basis is, heb je twee deelproblemen, namelijk: voortbrengend en lineair onafhankelijk.

Hier: zijn de vier gegeven elementen voortbrengend? Om dat in te zien, probeer eens op zoek te gaan naar de meest algemene matrix die in V zit. Wanneer zit de matrix
/a+bi c+di\
\e+fi g+hi/
in V? Juist als
/a+bi c+di\ = /a-bi e-fi\
\e+fi g+hi/ = \c-di g-hi/
Dus a=a, b=-b, c=e, d=-f, e=c, f=-d, g=g, h=-h.
Dus het meest algemene element van V is:
/a c+di\
\c-di g/
Als je deze nu kan schrijven als lineaire combinatie (met coëfficiënten in ) van je vier gegeven matrices, dan kan je dus elk element van V schrijven als lineaire combinatie van de vier, dus dan zijn de vier voortbrengend. Probeer eens...

En dan deel twee: zijn ze lineair onafhankelijk? Om dat na te gaan, stel dat
a*I₂+b*X₁+c*X₂+d*X₃=0
(met 0 is de 2*2-matrix met enkel nullen, en a,b,c,d zijn reëel).
Schrijf dit uit, als hieruit volgt dat a=b=c=d=0, dan heb je de lineaire onafhankelijkheid.

Die twee eigenschappen volstaan om te besluiten dat je vier elementen van V een basis vormen voor V.

Groeten,
Christophe.

Christophe
18-12-2005