WisFaq!

Een gokspel met een dobbelsteen

2 vrienden ( A en B ) spelen een gewaagd spel
A gooit twaalf keer met één dobbelsteen.
Hij wint het spel als hij minstens twee keer 6 gooit. Ze spreken af dat A € 1 betaalt om deel te nemen aan het spel.

Als A wint, betaalt B hem een bedrag X uit. ( vast bedrag voor als A minsten 2 zessen gooit: dus als A 4 zessen of 5 zessen of ... gooit krijgt hij toch zoiezo X )

B weet echter meer van kansrekenen em met de doelstelling om op lange termijn winst te maken kiest hij het bedrag X.

De vraag is wat voor B de maximale waarde is die hij mag kiezen voor X om dus op lange termijn winst te maken?

Ik ben als volgt begonnen:

P(geen zes)=(5/6)^12
P(1 zes )=(5/6)^11 * (1/6)
P(2 zessen)=(5/6)^10 * (1/6)^2
P(3 zessen)=(5/6)^9 * (1/6)^3
enzoverder

Dan tel ik alle kansen op vanaf P(2zessen)

Is dit juist? Hoe kan ik verder gaan? Hoe bepaal ik dan X?

dankje

maarten
17-12-2005

Antwoord

De kansen die je opschrijft zijn niet correct:
Bijvoorbeeld de kans op 1 zes is 12*(5/6)^11*(1/6), immers die ene zes kan de eerste, de tweede enz. tot de twaalfde keer zijn. Bij de kans op k zessen moet je vermenigvuldigen met de binomiaalcoefficient (n boven k).
Verder is het natuurlijk verstandig om eerst de kans dat er niet twee of meer zessen worden gegooid uit te rekenen (overgaan op de complementaire kans dus).
Dus P(2 of meer zessen)=1-P(0 of 1 zes)=1-(5/6)¹²-12*(5/6)¹¹*(1/6)=1-.3813=0.6187.
Noemen we de winst per spel voor B: W dan heeft W de volgende kansverdeling:

De verwachtingswaarde voor de winst W van B is dus:
0.3183*1+0.6187(1-X)=1-0.6187X.
Wil het spel op de lange duur winstgevend zijn dan moet 1-0.6187X0 zijn.
Dit is het geval als 0.6187X1, dus X1/0.6187=1.616
Dus X moet kleiner dan of gelijk zijn aan 1.61 euro.

hk
17-12-2005