WisFaq!

Alternatieve afleiding abc-formule

Hallo!

Ik vroeg mij af of de volgende afleiding van de abc-formule ook juist is.
We beginnen natuurlijk met f(x) = ax²+bx+c, a$\ne$0 en proberen op te lossen f(x)=0
De afgeliede f'(x) = 2ax + b
Nu geldt voor alle x en dus ook voor de x-en waarvoor geldt f(x)=0, dat de afgeleide gelijk moet zijn aan een constante zeg k
We hebben dan dus: 2ax + b = k$\Leftrightarrow$x=(k-b)/2a
Dit vullen we in f(x)=0 in:
a(k-b)²/4a² + b(k-b)/2a + c = 0
Noemers gelijk maken:
(k-b)²/4a + 2b(k-b)/4a + 4ac/4a = 0
Samenvoegen en haakjes wegwerken:
(k² - 2kb + b² + 2kb - 2b² + 4ac)/4a = 0
Verder vereenvoudigen:
(k² - b² + 4ac)/4a = 0$\Leftrightarrow$k² - b² + 4ac = 0
En dus:
k=±√(b² - 4ac)
Samen met x=(k-b)/2a levert dit:
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
En we hebben dus de abc-formule.

Nu vraag ik mij dus af of dit een juiste redenering is.
Met vriendelijke groet,
Ronald Bosma

Ronald Bosma
14-12-2005

Antwoord

dag Ronald,

De redenering is op zich juist, alleen speelt die afgeleide eigenlijk geen rol.
Je stelt de oplossing (als die bestaat) gelijk aan (k-b)/2a
Je vult dit in voor x, en stelt f(x) gelijk aan 0.
Je vindt dan een voorwaarde voor k: inderdaad, de abc-formule.
Het bedenken van de oplossing in de gekozen vorm zou een gevolg kunnen zijn van de afgeleide (met dank aan hk):
Het idee is kennelijk:
symmetrisch t.o.v. top,
top bepalen: 2ax+b=0 dus top bij x=-b/(2a),
Dan nulpunt bij x=-b/2a+r = x=(-b+k)/(2a)
en dan invullen.
Dus: op zich een aardige vondst, om op deze manier de abc-formule aan te tonen zonder kwadraatafsplitsen.
groet,

Anneke
15-12-2005