WisFaq!

Bestaansvoorwaarde

Wanneer moet je een bestaansvoorwaarde gebruiken? Wanneer wel en wanneer niet?

lennert
12-12-2005

Antwoord

Als je bijvoorbeeld volgende vergelijking hebt
√(x+1) = 1 + 3x
en je moet deze oplossen naar x. Dan moet je linker- en rechterlid van deze vergelijking kwadrateren om die vierkantswortel te doen verdwijnen. Dat is net de reden waarom je bestaansvoorwaarden en kwadrateringsvoorwaarden gebruikt.

Doordat je kwadrateert kunnen er oplossingen bijkomen die wel oplossing zijn van de gekwadrateerde vergelijking en niet van de oorspronkelijke. Dit mag natuurlijk niet, vandaar dat je eerst voorwaarden (bestaans- en kwadraterings-) moet opstellen waaraan de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking moeten voldoen om die bijkomende oplossingen van de gekwadrateerde vergelijking te kunnen schrappen.

Zo weet je,voor dit voorbeeld, dat x+1 $\geq$ 0 moet zijn, of dat dus x $\geq$ -1 moet zijn. Dit omdat wat onder een vierkantswortel staat altijd positief of gelijk aan nul moet zijn. Dit is de bestaansvoorwaarde: x$\geq$-1. Als je straks dus een oplossing vindt kleiner dan -1 mag je die dus schrappen.

Niet alleen wat onder een vierkantswortel staat is positief, maar ook de vierkantswortel zelf (= het resultaat van de vierkantswortel) is positief. Dit resultaat moet hier gelijk zijn aan 1 + 3x. Dus 1+3x $\geq$ 0 of 3x $\geq$ -1 of x $\geq$ -¹/₃. Dit is de kwadrateringsvoorwaarde.
Je merkt dat in dit geval (dit is niet altijd zo) de bestaansvoorwaarde automatisch voldaan is als de kwadrateringsvoorwaarde voldaan is. Het volstaat dus na te gaan of x $\geq$ -¹/₃ zijn.

Kwadrateren van de vergelijking geeft:
x+1 = (1+3x)²
x+1 = 1 + 6x + 9x²
9x² + 5x = 0
x.(9x+5)=0
x=0 of 9x + 5 = 0, dus x=0 of x=-⁵/₉

Je vindt dus twee oplossingen van de gekwadrateerde vergelijking.
Als je nagaat of deze oplossingen ook voldoen aan bestaans- en kwadrateringsvoorwaarden (x $\geq$ -¹/₃) dan zie je dat dit niet het geval is voor x=-⁵/₉. Deze oplossing moet je dan ook schrappen. De enige echte oplossing is dus x=0.

Een andere (en in veel gevallen kortere en gemakkelijkere) oplossingsmethode is je van die bestaans- en kwadrateringsvoorwaarden niks aan te trekken, en op het einde gewoon je gevonden oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen. Dan zie je onmiddellijk welke oplossingen wel en niet voldoen.
Vul je hier bv. -⁵/₉ in, dan vind je ²/₃=-²/₃ wat natuurlijk niet klopt, dus moet die oplossing geschrapt worden...

LL
12-12-2005