WisFaq!

Cauchy: bewijs dat elke convergentie rij een cauchy-rij is

Mijn dochter warvan ik nogmaals het slachtoffer ben zoekt antwoord op volgende vraag: Een Cauchy rij is een rij waarvoor geldt: (formule kan ik niet lezen)
Bewijs dat elke convergentie rij een cauchy-rij is.
Het gaat hier namelijk over het bewijs en waarom.

Lyna
12-12-2005

Antwoord

Beste Lyna,

Een rij is een Cauchy-rij als de elementen van de rij willekeurig dicht bij elkaar komen te liggen vanaf een zekere index. Wiskundig kunnen we dit als volgt formuleren, waarin (u_n) een numerieke rij is, deze is dan een Cauchy-rij indien: " e 0, $ N 0 : n,m N Þ |u_n-u_m| e.

We noemen een rij convergent als ze naar een zekere eindige waarde convergeert, dus als de limiet voor n®¥ in u_n gelijk is aan een zeker reëel getal l. Opnieuw kunnen we dit symbolisch omschrijven (dit is equivalent met de limiet-notatie): We zeggen dat de numerieke rij (u_n) convergeert naar een waarde l indien: " e 0, $ N : " n N Þ |u_n-l| e.

Je wilt nu aantonen dat uit convergentie sowieso volgt dat er voldaan is aan het criterium van Cauchy. Uit convergentie volgt dat er voor een willekeurige epsilon geldt (kies hier e/2): |u_n-l| e/2.
Gebruik dan de driehoeksongelijkheid (met zowel n als m groter dan de grensindex N uit de definitie van de convergentie):
|u_n-u_m| = |u_n - l + l -u_m| |u_n-l| + |l-u_m| e/2 + e/2 = e

Hieruit volgt dat de rij een Cauchy-rij is.

mvg,
Tom

td
12-12-2005