WisFaq!

Homogene transformaite

Hallo,
In het mijn boek staat uitgelegd hoe je de punten kunt vinden die bij een homogene coördinaten transformatie niet veranderen... alleen snap ik een bepaalde stap niet

Er staat dat je eigenvector van "matrix P" moet berekenen en dat je op die manier gemakkelijk de punten kan vinden die niet veranderen. Maar hoe bereken je een eigenvector? In het boek staat dit voorbeeld

[3 0 1] [X']
[Y]=[1 4 1].[Y']
[0 0 2] [Z']

in dit geval moet ik dus de eigenvector berekenen van:

[3 0 1]
[1 4 1]
[0 0 2]

en op die manier vinden dat (1,0-1) , (1,-1,0) en (0,,1,0) niet zullen veranderen.

Zouden jullie mij kunnen helpen?

Alvast bedankt

Sebastiaan
10-12-2005

Antwoord

Dag Sebastiaan

Drietallen die reële veelvouden zijn, stellen dezelfde homogene coördinaat voor.
Stel P is de transformatiematrix en X is de homogene coördinaat.
X verandert dus niet door de transformatie als P.X = k.X met k is een reeel getal, de eigenwaarde genoemd.
Hieruit gaan we k berekenen :
P.X = k.I.X met I is de eenheidsmatrix
(P-k.I)X = O (nulmatrix) (1)
met P-k.I = A =

Opdat (1) een oplossing heeft moet det(A) = 0
Hieruit volgt dat k=2, k=3 en k=4
Dit zijn de mogelijke eigenwaarden.
Met iedere eigenwaarde komt een eigenvector overeen; dit is een drietal dat door de transformatie op een veelvoud wordt afgebeeld en dus een homogene coördinaat is die door de transformatie niet verandert.

Deze eigenvectoren vind je door (1) op te lossen voor iedere gevonden eigenwaarde.

Voor k=2 vind je X = (1,0,-1)
Voor k=3 vind je X = (1,-1,0)
Voor k=4 vind je X = (0,1,0)

LL
11-12-2005