WisFaq!

Hoe bepaal je de integraal van een deling?

Hoe bepaal je:

$\int{}$(3x²+2)/(x²+1)dx

en

$\int{}$(³√x+2x)/(x³√x)dx

Jan Smit
5-12-2005

Antwoord

Beste Jan,

Voor de eerste opgave, voer eerst de staartdeling uit, dit kan ook met veeltermen. Dit kan je altijd doen wanneer de graad van de teller groter of gelijk is aan die van de noemer. (Zie: Een staartdeling maken)

Een andere mogelijkheid is de breuk wat manipuleren zodat je een deel van de teller gelijk krijgt aan de noemer, dan splitsen:
(3x²+2)/(x²+1) = 3(x²+2/3)/(x²+1) = 3(x²+1-1/3)/(x²+1) = 3(x²+1)/(x²+1) + 3(-1/3)/(x²+1) = 3 - 1/(x²+1).

Persoonlijk vind ik dit laatste makkelijker en sneller, maar het zal niet altijd zo eenvoudig gaan. Als je zoiets niet direct zien, of voor complexere breuken, dan werkt de staartdeling altijd en je vindt hetzelfde resultaat. Het integreren van die vetgedrukte uitdrukking zal geen probleem meer zijn.

Voor de twee opgave, begrijp ik het zo goed? ò(³Öx + 2x)/(x ³Öx) dx
Zet alles om naar exponenten in x, dat is wat duidelijker: ò(x^1/3 + 2x)/(x^4/3) dx
Splits de breuk nu in tweeën en pas de rekenregel voor machten toe: x^a/x^b = x^a-b.

Probeer je zelf even verder?

mvg,
Tom

td
5-12-2005