WisFaq!

Partiële integratie

Ik dacht om volgende integraal zo op te lossen:

ò (x · ln (x-3))

hierbij u' = x dus u= x²/2
v = ln (x-3) dus v'= 1/(x-3)

dan wordt de integraal:

ln (x-3) · x²/2 - ò( 1/(x-3) · x²/2)

= ln (x-3) · x²/2 + 1/6ò (1/x · x²)

= ln (x-3) · x²/2 + 1/6 (lnx · x³/3)

= ln (x-3) · x²/2 + 1/6 lnx·x³/3

Maar dit blijkt niet te kloppen...

Waar zit dan de fout??

Mercikes voor de hulp!!

Elke
4-12-2005

Antwoord

Beste Elke,

Je fout zit (na "dan wordt de integraal:") in de overgang tussen regel 1 en 2. We hebben:

-ò1/(x-3) · x²/2 dx
-òx²/(2(x-3)) dx
-1/2 òx²/(x-3) dx

Verder vereenvoudigen gaat daar niet, het is (x-3) dat volledig in de noemer staat; je kan niet zomaar die factor 1/6 buitenbrengen!

We hebben nu x²/(x-3), de graad van de teller is hoger dan die van de noemer dus kan je de deling nog uitvoeren (staartdeling van veeltermen maken). Dit geeft je een quotiënt en een rest die rechtstreeks te integreren zijn.

mvg,
Tom

td
4-12-2005