WisFaq!

Differentieerbaarheid en continuïteit

Met het boek "Calculus, Early Transcendentals 5e" (van James Stewart) probeer ik mezelf beter voor te bereiden op het universitair onderwijs.

Ik heb een probleem met één specifieke "theorem":

In het boek staat namelijk: "If f is differentiable at a, then f is continuous at a".

Ik kan namelijk functies opstellen, die niet continu zijn, maar wel differentieerbaar (dus in tegenstrijd met de "theorem").

bijvoorbeeld ("pieciewise definition" van een functie):

f(x) = x^2+5 (x = 2)
x^2-5 (x 2)

De functie is niet continu, dus volgens calculus is deze functie niet differentieerbaar, echter:

De linker limiet:
lim(x-2-)f'(x)=[f(x)-f(a)]/(x-2)
lim(x-2-)f'(x)=(x^2+5-9)/(x-2)=[(x+2)(x-2)]/(x-2)
lim(x-2-)f'(x)=(x+2)=4

evenzo: de rechter limiet is ook gelijk aan 4.

De linker en de rechter limiet zijn aan elkaar gelijk, dus f'(2) bestaat en dus is de functie differentieerbaar voor x = 2. Volgens de theorem klopt dit dus niet!

wat is er mis met deze interpretatie?


Bij voorbaat dank,

Thomas Verduin

Thomas Verduin
3-12-2005

Antwoord

Dag Thomas,

De fout die je maakt zit in de rechterlimiet, volg maar even mee:
lim(x-2+) [f(x)-f(a)]/(x-a)
= lim(x-2+) [x²-5-f(2)]/(x-2) want voor x2 is f(x)=x²-5
= lim(x-2+) [x²-5-9]/(x-2) want f(2)=9 volgens de definitie van f
= lim(x-2+) [x²-14]/(x-2)
Invullen van x=2 geeft hier -10/0+.
De rechterlimiet bestaat dus niet, en dus bestaat de afgeleide evenmin.

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-12-2005