WisFaq!

Vraagstuk differentiaalvergelijking

Hoi!

Gevraagd is:

De bevolking N(t) van een stad op tijdstip t, met t in jaren, verdubbelt in 50 jaar. Hoeveel jaar zal het mindstens duren vooraleer de bevolking verdrievoudigd zal zijn, in de veronderstelling dat de ogenblikkelijke toename evenredig is met het huidige aantal inwoners?

Ik dacht:

dN(t) / dt = k * N(t)

ò dN(t) / N(t) = ò kdt

ln | N(t) | = kt + c
N(t) = e(kt + c)
N(t) = c1 * e(kt)

N(50) = 2 * (c1 * e(kt))

en dan?

Elke
30-11-2005

Antwoord

Beste Elke,

Je integratieconstante c ga je hier niet kunnen bepalen omdat er geen beginvoorwaarde gegeven is. We hebben geen informatie over het aantal inwoners op een bepaald tijdstip. Gelukkig is dit ook niet nodig om het vraagstuk op te lossen. Wat we nog zoeken is de onbekende factor k.

Deze kunnen we vinden door gebruik te maken van het extra gegeven: N(t+50) = 2N(t)

Vervang N door onze gevonden oplossing, uiteraard in de opgegeven waarde, en los op naar k. Je zal zien dat die onbekende c wegvalt, dus daar hebben we geen last van. Als het goed is vind je dan een numerieke waarde voor k die ervoor zorgt dat onze oplossing nu ook voldoet aan 'om de 50 jaar is er een verdubbeling'.

Rest er ons nog de vraag, welk tijdsverloop is nodig om een verdrievoudiging te krijgen. Vertaald naar een vergelijking geeft dit: N(t+Dt) = 3N(t). Maar nu kennen we k dus deze kan je oplossen naar Dt.

mvg,
Tom

td
30-11-2005