WisFaq!

Re: Substitutie bij `vreemde` differentiaalvergelijkingen

De eigenlijke DV was dy/dt=sin(Pi*y/1000) (maar dit is nu niet een verandering voor de vraag)
Ik zat vast bij het uitrekenen ervan,
ik bekom dan een enorme uitdrukking als ik int(dy/siny) bereken en omdat ik geen oplossing voor handen heb weet ik niet goed of ik juist zit.
Verder kom ik ook een vergelijking uit waarin y in impliciete vorm vermeld is. Ik bekom dus iets van de vorm: t=1000/Pi*ln(sin(Piy/1000)/cos(Piy/1000)+1) + C.
Ik weet niet hoe ik hieruit y kan krijgen om een expliciete vergelijking van y te krijgen. (en dan daarin beginvoorwaarden in te vullen).
Danku voor het bekijken van deze vraag!
Lien

Lien
29-11-2005

Antwoord

Beste Lien,

Als ik het goed begrijp loopt het dus wat mis bij het integreren van dy/sin(y). Deze integraal kan bepaald worden met de substitutie t = tan(y/2), sin(y) wordt dan 2t/(1+t²) en dy wordt 2dt/(1+t²).

Vereenvoudigen en integreren geeft dan, gecombineerd met terug substitueren, ln(tan(y/2)) als primitieve functie. Terugkerend naar onze DV geeft dit dan:

òdy/sin(y) = òdt Û ln(tan(y/2)) = t + C

Nu kan je op zoek gaan naar een expliciete vorm voor y. Neem van beide leden de e-macht, vervolgens de arctan (inverse tangens) en vermenigvuldig ten slotte met 2. Dit levert een expliciete oplossing voor y in functie van t.

mvg,
Tom

td
29-11-2005