WisFaq!

Logaritmische vergelijking met machten

Beste,

Ik moet een vergelijking oplossen met logaritmen.
Zoek a en b als voor iedere x element van R(positief en groter dan 0) geldt dat y” + ay’²+ by’/x = 0 ; y= ln(lnx)
Ik heb al
y’= D(ln(lnx)) = (1/x)/lnx = 1/xlnx
y”= D(1/xlnx)
= -D(xlnx) / (xlnx)²
is dit:
= - [(lnx*D(x)+D(lnx)*x ) / x²ln²x]
= - [(lnx + 1) / x²ln²x] ???

Ik twijfel aan de ln²x ...
Als ik dit in de vgl steek en verder vereenvoudig, kom ik aan:
ln[x^(ab)]= ln²x-lnx
ln[x^(ab)]= ln x = ???
ab = 1

a=1 en b=1

Ik weet dat het ongeveer goed is, maar ik zou graag zeker zijn. Ik weet niet of (lnx)² = lnx² of ln²x...

Groetjes,

Elisa

Elisa
26-11-2005

Antwoord

Dag Elisa,

Je twee afgeleiden y' en y'' zijn correct. In y'' komt inderdaad (lnx)² voor, wat ook genoteerd wordt als ln²x, en wat NIET hetzelfde is als ln(x²), want dat is volgens de rekenregels voor logaritmen gelijk aan 2*lnx.

Ik zie niet direct hoe je dan aan die ln(x^ab) komt... Als ik de y' en y'' invul in de opgegeven gelijkheid, kom ik aan:

-^(1+lnx)/_x²ln²x + ^a/_x²ln²x + ^b/_x²lnx = 0

Of, na vermenigvuldiging met x²ln²x staat er nog:
-1 - lnx + a + blnx = 0
(a-1) + (b-1)lnx = 0

Je weet dat deze gelijkheid voor elke (positieve) x moet gelden, dus dan zal je daar allicht wel a en b uit kunnen oplossen... Het geeft inderdaad a=b=1, dus de uitkomst die jij ook al had. Alleen heb jij op een (voor mij) mysterieuze manier afgeleid dat ab=1, en daaruit bovendien besloten dat a=b=1, terwijl dat net zo goed a=2 en b=1/2 had kunnen zijn.

Groetjes,
Christophe.

Christophe
26-11-2005