WisFaq!

Vraagstuk vergelijking rechte in de ruimte

Een vliegtuig vertrekt vanop de startbaan met een snelheid van 5km/minuut in de richting gegeven door de vector a(2,-2,1) t.o.v. een orthonormaal assenstelsel met in de oorsprong het vertrekpunt van dit vliegtuig.
Op hetzelfde moment bepaalt de verkeerstoren de positie van een tweede vliegtuig. Het vliegtuig bevindt zich in het punt P(-20,-15,10) en het vliegt met een snelheid van 15km/minuut in de richting gegeven door de vector b(8,-4,-1). De coördinaten worden gegeven in km en we veronderstellen dat de snelheid constant is gedurende enige tijd.
1. Wanneer benaderen de vliegtuigen elkaar het dichtst? In welke punten bevinden ze zich dan?
2. Wordt de veiligheidsafstand van 20km op elk moment gerespecteerd?

Ikzelf heb reeds de vergelijkingen van de rechten bepaald maar weet dan niet hoe verder te gaan. Ik zou het erg op prijs stellen moest u mij kunnen helpen.
Dank bij voorbaat,
mvg,
Tim. (leerling 6 eco-wiskunde 6)

Tim Buyse
20-11-2005

Antwoord

Wanneer we de lengte van vector a bepalen krijgen we: √(4+4+1)=3.
De positie van vliegtuig 1 kun je dan weergeven door de plaatsvector (0,0,0)+5/3t(2,-2,1)=(10/3t,-10/3t,5/3t) Laten we deze vector (x₁,x₂,x₃) noemen.

Wanneer we de lengte van vector b bepalen krijgen we √(64+16+1)=9.
De positie van vliegtuig 2 wordt dan weergegeven met de plaatsvector (-20,-15,10)+15/9t(8,-4,-1)=(-20+40/3t,-15-20/3t,10-5/3t). Laten we deze vector (y₁,y₂,y₃) noemen.
De onderlinge afstand tussen de twee vliegtuigen wordt dan gegeven door √((x₁-y₁)²+(x₂-y₂)²+(x₃-y₃)²).

Dit is een uitdrukking waar alleen t in voorkomt.
1) Bepaal voor welke waarde van t deze uitdrukking minimaal is.
(Tip: √(iets) is minimaal als (iets) minimaal is)
Wat dan de minimale afstand is en in welke punten de vliegtuigen zich dan bevinden.
2)Als je de minimale afstand weet kun je deze vraag ook beantwoorden.

hk
20-11-2005