WisFaq!

Sinushyperbolicus van boogsinushyperbolicus

Hoe bewijs ik:

sinh(Arcsinh(x))=x

Ik heb geprobeert met de grondformule maar dat lukt denk ik niet aangezien je dan een andere formule moe gebruiken waar van het bewijs steunt op dit bewijs.

Ook heb Arcsinh(x) proberen in te vullen in de formule van sinh(x) maar ik weet niet hoe ik deze verder moet uitwerken.

Jan
12-11-2005

Antwoord

Beste Jan,

Het hangt er van af wat hoe je het wil definiëren. Het is natuurlijk logisch dat de functie toegepast op zijn inverse het argument zelf geeft, net zoals e^ln(x) = x.

Als je dat dan toch wil 'aantonen' kan je uitgaan van de definitie. Voor sinh(x) is dat (e^x-e^-x)/2. Door dit gelijk te stellen aan y (stel y = sinh(x)) en op te lossen naar x vind je een uitdrukking voor de inverse functie, deze is dan arcsinh(x) = ln(√(x²+1)+x).

Vul dan deze uitdrukking in voor x in de definitie van sinh(x) en kijk of je x uitkomt. Uiteraard gaat dat zo zijn, want we hebben de inverse functie afgeleid uit de definitie van sinh(x).

mvg,
Tom

td
12-11-2005