WisFaq!

Vierdemachts oplossen

Hallo, ik heb een vraag over complexe getallen. Het lukt me inmiddels aardig om ermee te rekenen maar nog niet op alle mogelijke manieren. De vraag is "bepaal de oplossing in het complexe vlak en teken deze"

z⁴=-8+8Ö3*i

Als ik dit op ga lossen met de binomiaalvergelijking (dus modulus en argument bepalen, dan 4-demachtswortel van modulus, en een kwart van 't oorpsronkelijke argument) dan kom ik er wel. Tekenen gaat dan alleen lastig.

Ik wil de oplossing dus ook kunnen vinden dmv z=a+bi. Ik vervang dan (a+bi)² voor u bij en krijg u²=-8+8Ö3*i. Hier kom ik verder alleen niet meer uit.

Alvast bedankt!

Robert
8-11-2005

Antwoord

Uit z⁴=-8+8Ö3 volgt z⁴=16e^2/3pi
Een van de vier oplossingen van de vergelijking laat zich dus schrijven als 2e^1/6pi.
Als je deze oplossing wil tekenen dan weet je dus dat deze op een cirkel met straal 2 ligt (en middelpunt in de oorsprong). Herschrijf nu 2e^1/6pi als 2cos(1/6p)+2sin(1/6p)i=Ö(3)+i. Je moet nu kennelijk het punt op de cirkel met straal 2 tekenen zodat de hoogte 1 is. Moet kunnen

Tweede vraag:
Een beginnetje:
Noem u=p+qi, dan (p+qi)²=p²-q²+2pqi, dus
p²-q²=-8 en 2pq=8Ö3.
Uit 2pq=8Ö3 volgt q=4Ö3/p.
Invullen in p²-q²=-8 levert p²-48/p²=-8, dus p⁴+8p²-48=0
Hieruit volgt (p²-4)(p²+12)=0.
Dus p=.. met q=.. of p=.. met q=...

hk
9-11-2005