WisFaq!

Afgeleide arctan bewijzen

Voor het bepalen van de afgeleide van y(x)=arctan(x) naar x maak je gebruik van het feit dat tan(y(x))=x en dan ga je impliciet differentieren. Op een gegeven moment kom ik echter op de vergelijking dy/dx=(cos(y(x)))²=(cos(arctan(x)))². Hoe moet je deze vergelijking oplossen? Bij het bepalen van de afgeleide van de arcsin en arccos kon je namelijk gebruik maken van het feit dat sin²+cos²=1 en dan viel de cos(arccos) of sin(arcsin) weg maar dat gaat hier niet. En volgens mij geldt niet dat arctan=arcsin/arccos (of wel soms) en dus heb ik geen idee hoe ik de vergelijking moet oplossen.

Kunnen jullie mij helpen?

kees
30-10-2005

Antwoord

Naast d/dx(tan(x))=1/cos²(x) geldt ook d/dx(tan(x))=tan²(x)+1.
Dat deze twee afgeleiden equivalent zijn kun je als volgt inzien:
tan²(x)+1=sin²(x)/cos²(x)+1=sin²(x)/cos²(x)+cos²(x)/cos²(x)=(sin²(x)+cos²(x))/cos²(x)=1/cos²(x).
Volgens mij moet het dan wel lukken.

hk
30-10-2005