WisFaq!

Regel van Simpson ; praktische uitwerking

Geg. : I = ₀ò¹ e^x dx (= e-1)

Ik loop vast bij het uitschrijven van beanderingen mbv de regel van Simpson:

I*₂ = ¹/₆(f(0)+4f(1/2)+f(1))

I*₄ = ¹/₁₂(f(0)+4f(?)+2f(?)+f(?)) 1,718318

Ik kan van alle soorten benaderingen m.b.v. de bijbehorende formules niet bepalen of ik moet starten met f(a) en ook met f(b) eindigen of dat ik net een stap daarvoor moet eindigen.

Dit zelfde geldt voor de trapezium / rechthoeksregel.

In de formules staat dan wel bijv. f(x₀) f(x₁) f(x_n) bijvoorbeeld, maar welke functiewaarden horen daar nu bij?

Maikel van Gulik
27-10-2005

Antwoord

Bij I*2 benader je de oppervlakte onder de grafiek van f op het interval [0;1] met ¹/₆(f(0)+4f(1/2)+f(1))*(1-0). (Die 1-0 is de breedte van het deelinterval.)
Wanneer je het interval [0,1] in twee gelijke delen opsplitst [0,1/2] en [1/2,1] kun je de regel van Simpson op beide deelintervallen toepassen.
Je krijgt dan:
[0,1/2]: ¹/₆(f(0)+4*f(1/4)+f(1/2)*(1/2-0)=¹/₁₂(f(0)+4*f(1/4)+f(1/2)
[1/2,1]:¹/₆(f(1/2)+4*f(3/4)+f(1)*(1-1/2)=¹/₁₂(f(1/2)+4*f(3/4)+f(1)

Neem je deze twee samen dan krijg je:
¹/₁₂(f(0)+4f(1/4)+f(1/2)+f(1/2)+4f(3/4)+f(1))=
¹/₁₂(f(0)+4f(1/4)+2f(1/2)+4f(3/4)+f(1))

Zou je [0;1] in vier deelintervallen verdelen en op elk deel de regel van Simpson toepassen dan krijg je dus
[0;¹/₄]: ¹/₂₄(f(0)+4f(1/8)+f(1/4))
[¹/₄;¹/₂]: ¹/₂₄(f(1/4)+4f(3/8)+f(1/2))
[¹/₂;³/₄]: ¹/₂₄(f(1/2)+4f(5/8)+f(3/4))
[³/₄;1]: ¹/₂₄(f(3/4)+4f(7/8)+f(1))

Tezamen:
¹/₂₄(f(0)+4f(1/8)+2f(1/4)+4f(3/8)+2f(1/2)+4f(5/8)+2f(3/4)+4f(7/8)+f(1)).

Op een soortgelijke manier kun je uitzoeken hoe het bij de andere benaderingsalgoritmes werkt.

hk
27-10-2005