WisFaq!

Natuurlijke logaritme

Hoe los ik de volgende ongelijkheid op:
(e^x+2)(ln²x-3·lnx-4)<0

Jos
24-8-2002

Antwoord

Bij het oplossen van ongelijkheden in de vorm van f(x)<0, schets je eerst de functie, bepaal je vervolgens voor welke waarden van x geldt dat f(x)=0, en tot slot bepaal je aan de hand van de grafiek op welke intervallen dan moet gelden dat f(x)<0.

als je goed kijkt naar de functie die jij opgeeft:
(e^x+2)(ln²x-3lnx-4) dan zal je opvallen dat het eerste stuk, dus (e^x+2) altijd groter is dan nul. immers e^x>0 dus ook e^x+2>0 voor alle x.

Ons probleem wordt dus teruggebracht tot:
(ln²x-3lnx-4)<0 Û
(lnx-4)(lnx+1)<0

Nu eerst kijken wanneer (lnx-4)(lnx+1) gelijk is aan nul. Dit is het geval wanneer lnx=4 Ú lnx=-1 dus wanneer
x=e⁴Úx=e^-1=1/e

De laatste stap: bepalen op welk(e) interval(len) geldt dat (lnx-4)(lnx+1)<0.

Addertje onder het gras: het stukje functie (e^x+2) dat we zojuist 'weggegooid' hebben, doet nog wel mee bij eventuele beperkingen van het Domein. Nu gaat dat goed want het domein van e^x+2 is dus dat legt geen beperkingen op.
Had er in plaats van (e^x+2) nou bijvoorbeeld gestaan ((4-x²) + 2) dan was het domein van dit stukje [-2,2] geweest en had dat op het laatst een beperking opgelegd aan de uiteindelijke intervallen die je geeft als antwoord.
let hier goed op.

groeten,
martijn

mg
24-8-2002