WisFaq!

Beeld

Wie kan mij het volgende uitleggen?

f(z)= (i-z)/z

Het beeld van {z/z/2}onder f kan als volgt worden verkregen. Ga na dat f(2i) =-¹/₂, f(-2i)= -3/2 en
f(2)=-1 + ¹/₂i.
Het beeld van {z/ /z/=2}omder f is dus {z/ /z-1/ = ¹/₂}
Het antwoord is dus {z/ /z-1/ ¹/₂}


De laatste 2 regels zijn voor mij niet duidelijk...

BVD

Tjen
24-10-2005

Antwoord

f is een möbius-transformatie, die hebben de plezierige eigenschap dat ze lijnen en cirkels in lijnen en cirkels overvoeren. De cirkel om 0 met straal 2 gaat over in een lijn of een cirkel; uit de uitgerekende beelden blijkt dat die lijn of cirkel door -1/2, -3/2 en -1+1/2i moet gaan, het beeld moet dus wel een cirkel zijn en als je de punten tekent zie je dat het de cirkel om -1 met straal 1/2 (en dat zijn de z met |z+1|=1/2).
Verder: als je langs de cirkel loopt langs de gegeven puntenin de gegeven volgorde ( 2i, -2i, 2 ) dan ligt je gebied links en het beeld ligt dan ook links als je de over de beeldcirkel loopt met behoud van volgorde (-1/2, -3/1, -1+1/2i ); je krijt dus het buitengebied: de z met |z+1|1/2

kphart
26-10-2005