WisFaq!

Tweedegraadsvergelijkingen

Ontbind indien mogelijk, de volgende veeltermen in factoren.

2 . t - t² - 2 + 2 . t

(2x - 3)² + (x - 1)²

Liesbeth
24-8-2002

Antwoord

Beste Liesbeth,

Laten we ze beide even proberen te ontbinden in factoren. Eerst nr. 1:

2 . t - t² - 2 + 2 . t

Eerst ga je alle gelijksoortige getallen bij elkaar optellen. Gelijksoortige getallen zijn getallen die je bij elkaar KUNT optellen, getallen van dezelfde soort dus.
Bijv. 4x + 4 kun je niet bij elkaar optellen, ze zijn dus ook niet gelijksoortig. 4x + 7x = 11x. Dit zijn wel gelijksoortige getallen namelijk van soort x (zo zou je het kunnen zeggen). Dus, dit doen we ook met onze formule:

22.t - t² - 2

Ik heb allebei de 2.t 's opgeteld, dit is dus gelijk aan 2.2.t. Het vermenigvuldigingsteken wordt vaak weggelaten voor een wortel, vandaar dat er geen vermenigvuldigingsteken voor staat.
Nu gaan we verder kijken. Zoals je ziet, heb
je 3 termen over:
-t² , -2 en 22.t

Om te ontbinden is het handig om het minteken voor de formule te zetten, dus:
-t² + 8.t - 2=-{t² - 22.t + 2}

Nu gaan we proberen 2 getallen te vinden, die opgeteld -22 opleveren en vermenigvuldigd 2 opleveren (dit is de som-produkt methode).

Die 'twee' getallen zijn -2 en -2, dus:
-{t² - 22.t + 2}=-{(t-)²)}=-(t-2)²

Nu de tweede formule:

(2x - 3)² + (x - 1)²
Eerst gaan we de haakjes wegwerken:
(2x - 3).(2x - 3) + (x - 1).(x - 1)
4x² - 6x - 6x + 9 + x² -x -x + 1
5x² - 14x + 10

De vraag is nu kan je dit ontbinden in factoren? Het antwoord is nee! Hoe ik dit weet? Probeer maar eens op te lossen 5x²-14x+10=0, met de abc-formule... Ik hoop dat je de abc-formule al hebt gehad, ik heb het namelijk over de discriminant. Aan de discriminant kunt je zien of een tweedegraads vergelijking 1, 2 of geen oplossingen heeft. De formule voor de discriminant D is:

D = b² - 4ac

Waarbij:

a de factor van het kwadraat is (zoals we hadden bij 5x², 5 = a);
b is de factor van de variabele (bijv. 4t, b = 4)
c is de vaste term (bijv. + 4, c = 4)

Laten we dit even bij eentje doen, de onderste:

(2x - 3)² + (x - 1)²

Eerst gaan we de haakjes weghalen (ik sla even wat stappen over, dit hebben we al eens gedaan):

5x² - 14x + 10

Nu zie je dat:a = 5;b = -14;c = 10

D = b² - 4ac
Dus:

D = -14²-4.5.10 = 196 - 200 = -4

Ik kan nu de conclusie trekken dat er geen oplossingen zijn voor x en dus ook geen ontbinding in factoren is mogelijk.Ik zal het even toelichten aan hand van een schema:

D<0 Geen oplossingen
D=0 1 Oplossing
D>1 2 Oplossingen

Onthoud dit goed, zo zie je snel of een vergelijking oplosbaar is en dus of hij ontbindbaar is.

Succes ermee,

bk
25-8-2002