WisFaq!

Re: Bewijzen

bij A kwam ik er al uit maar nu ben ik zover gekomen:

Opgave 3

a. p is een geheel getal
Te bewijzen: als p² een vijfvoud is dan is p ook een vijfvoud
p ℤ p = 5n
p² = 25n² 25/5 = 5

5 is een heel getal wat betekent dat 25n² een vijfvoud is dus het klopt.

b. Gebruik het resultaat uit a om te bewijzen: is irrationaal.

a lukte maar b kom ik niet uit

groetjes!

simone
20-10-2005

Antwoord

Beste Simone,

Deel a was vorige keer onduidelijk omdat het kwadraat ontbrak, maar ik zie nu wat je bedoelt. Je wil dus bewijzen dat als p² een vijfvoud is, dan p zelf dan ook een vijfvoud is. Wat jij bewezen hebt is echter het omgekeerde, namelijk dat als p een vijfvoud is, dat p² er dan ook een is!

Stel nu dat a inderdaad klopt (en dat is zo, maar je hebt het omgekeerde gedaan), kunnen we dat dan gebruiken voor b?
Eerst gaan we er van uit dat Ö5 niet irrationaal is, dit heet een bewijs uit het ongerijmde. We veronderstellen dus dat het rationaal is en hopen dan tot een strijdigheid te komen, zodat onze veronderstelling fout was.

Als Ö5 rationaal is, dan kun je het schrijven als:
Ö5 = a/b Û 5 = a²/b² Û 5b² = a²

Hierin zijn a en b natuurlijke getallen die onderling geen delers meer hebben (anders kan je de breuk verder vereenvoudigen, we veronderstellen dus ggd(a,b) = 1). Probeer nu op een of andere manier je resultaat uit a hierop toe te passen.

mvg,
Tom

td
20-10-2005