WisFaq!

Quotientcriterium van d`Alembert

Hallo,

Mijn vraag is:
Beschrijf het Quotientcriterium van d'Alembert en geef aan hoe we dit kunnen gebruiken om de convergentiestraal van een machtreeks te berekenen.
____________________________________________

Quotientcriterium van d'Alembert =

lim n$\to\infty$ ^{An + 1}/_An = L

- Als L $<$ 1 dan $\sum$An convergent
- Als L $>$ 1 dan $\sum$An divergent
- Als L = 1 dan geen uitsluitsel

Bij voorbaat dank.

Groeten, Peter

Peter
20-10-2005

Antwoord

Beste Peter,

Het convergentiekenmerk van d'Alembert dat je beschrijft klopt, indien An het n-de element uit de reeks is uiteraard (en niet enkel de coëfficiënt!). We zoeken nu naar een manier om dit kenmerk te gebruiken bij de bepaling van de convergentiestraal.

We beschouwen een machtreeks (ik laat de grenzen vallen voor de eenvoud, uiteraard loopt de som van 0 tot $\infty$): $\sum$a_nxⁿ.

We passen d'Alembert toe:

(·)

Hierin heb ik L = lim(n$\to\infty$) |a_n/a_n+1| gesteld.

Als nu |x| $<$ L, dan volgt uit (·) dat de reeks absoluut convergeert.
Als |x| $>$ L, dan volgt uit (·) dat de reeks divergent is.

Enige mogelijke conclusie: de convergentiestraal R is gelijk aan de eerder opgestelde limiet L.

mvg,
Tom

td
20-10-2005