WisFaq!

Gerepeteerde Trapeziumregel en Richardson Correctie

Hoi Lezer,

ik heb net een som afgerond en dit blijkt toch niet te kloppen met het 'antwoordmodel'. Normaal heb ik dit vrij snel uitgezocht waar de fout zit (vaak in de antwoorden zelf ;) ) maar in dit geval is het niet snel te vinden daar er veel stappen nodig zijn voor het bereiken v/e antwoord. Hier komt ie:

Geg.: I = ₀$\int{}$⁵ sin(√x+1))
Kwadratuurregel: (Gerepeteerde) Trapeziumregel

Bepaal de nauwkerigheid van I·₁₀₀
----------------------------------------------------
Bij I·₁₀₀ is de fout niet groter dan:

¹/₁₂M ^(b-a)3/_n²
= ¹/₁₂ · 0,35 · ¹²⁵/₁₀₀₀₀ $\approx$ 0,000365

Volgens het antwoordmodel klopt dit alleen zou M gelijk moeten zijn aan 1/2, zodat de rest v/h antwoord ook veranderd. Is dit zo of niet?

Ik had:

f' (x)=cos(sqrt(x+1)) / 2sqrt(x+1)
f''(x)=(-sin(sqrt(x+1) - cos(sqrt(x+1))/sqrt(x+1))/(4x+4)

Zodat de maximale absolute waarde van f''(x) afgerond naar boven gelijk is aan 0,35 en niet 0,5. (waarde van M dus)

========================================================
Bepaal vanaf welke waarde van n het antwoord van I·_n in 6 dec. nauwkeurig is.=========================

1 De fout mag niet groter zijn dan 0,0000004 ,
dus 175 / 48n² $\leq$ 0,0000004 $\Leftrightarrow$ n $\geq$ 3020

Dit antwoord klopte zowel niet met het antwoordmodel als met een rekenprogramma voor numerieke benaderingen.

Hoewel ik het exacte antwoord van I wel weet (via Integrals van Wolfram) is het geen doen om precies na te gaan waar de fout ligt. Dat is voor mij iig niet binnen een uur te doen.

Waar zitten de fouten?
Of zitten er in het antwoordmodel fouten?

BvD,

Maikel v Gulik

Maikel v Gulik
20-10-2005

Antwoord

Je kunt op een aantal manieren achter een geschikte waarde voor M komen (let wel een waarde, niet de waarde). Overigens zitten er nogal wat fouten in je functie en de afgeleiden, denk om de haakjes. Ik heb er even de integraal van 1 tot 6 van sin(sqrt(x)) van gemaakt (dat schrijft wat makkelijker). De tweede afgeleide wordt -1/(4x)sin(sqrt(x))-1/(4xsqrt(x))cos(sqrt(x)). Ik neem aan dat je de tweede afgeleide hebt geplot en de waarde 0.35 uit de grafiek hebt afgelezen. Wat de makers van het antwoordmodel waarschijnlijk hebben gedaan is de de absolute waarde van tweede afgeleide snel afschatten met 1/4+1/4. Immers de absolute waarde van -1/(4x)sin(sqrt(x)) is niet groter dan 1/4 en die van -1/(4xsqrt(x))cos(sqrt(x)) ook niet.
Elk getal dat groter is dan het maximum van |f''| is geschikt om in de formule te gebruiken; natuurlijk is een kleinere M altijd beter maar in dit geval is 0.5 niet veel slechter dan 0.35: ze zijn van dezelfde orde van grootte.

Wat de tweede betreft: theoretisch ziet het er goed uit. Met jouw waarde van M krijg je inderdaad 175/48n² als bovenschatting van de fout (met M=1/2 krijg je 125/24n²).
Normaal zou ik de fout kleiner dan 1/2·10^-6 maken (in plaats van 0.4·10^-6); ik krijg met jouw bovenschatting dat n 2700 al goed genoeg zou moeten zijn. Hier zijn achtereenvolgens: de echte waarde, de benadering bij n=2701 en die bij 3020: 4.445730288, 4.445730166, 4.445730191. Alledrie beginnen met 4.445730 en dat is als gevraagd. Praktisch ziet het er dus ook goed uit.

kphart
27-10-2005