WisFaq!

Re: Meetkundige plaats

Hallo Anneke,

Ik kan uw redenering niet goed volgen.Je zult nog wat verder moeten uitdiepen, zo dat voor U migelijk is.
Vriendelijke groeten,
Hendrik

lemmens hendrik
16-10-2005

Antwoord

dag Hendrik,

Driehoek ABC kan opgedeeld worden in drie deel-driehoeken:
PAB, PBC en PCA.
De oppervlakte van driehoek PAB is gelijk aan ¹/₂·a·p_a
De drie deelhoeken samen hebben dezelfde oppervlakte als driehoek ABC.
Noem deze oppervlakte O.
Vandaar dus de eerste gelijkheid:
a·p_a + b·p_b + c·p_c = 2O

Noem nu de constante C de afstandensom van P, dus:
p_a + p_b + p_c = C
Vermenigvuldig beide kanten met a:
a·p_a + a·p_b + a·p_c = a·C
Trek deze gelijkheid af van de eerste:
(b-a)·p_b + (c-a)·p_c = 2O - a·C
Aan de linkerkant hiervan staan juist weer twee dubbele oppervlaktes van driehoeken: de blauwe en de groene driehoek.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

(NB: S ligt op afstand a van B, T ligt op afstand a van C)
Maar dat linkerlid is ook gelijk aan de dubbele som van de oppervlaktes van de driehoeken AST en PST.
Nu ligt driehoek AST vast, ongeacht de keuze van P, dus ook de oppervlakte daarvan.
Je bent dus op zoek naar punten Q waarbij de oppervlakte van QST gelijk is aan de oppervlakte van PST.
Maar dan moet Q op de lijn liggen evenwijdig met ST, die door P gaat.
Omdat Q een inwendig punt van de driehoek moet zijn, ligt Q dus op het lijnstuk UV.

Anneke
17-10-2005