WisFaq!

De lorenz vergelijkingen

Hallo wisfaq,

Ik heb twee vragen over twee basiseigenschappen van de Lorenzvergelijkingen:
x'=s(y-x)
y'=rx-y-xz
z'=xy-bz

Voor r1 heeft het karakteristieke polynoom van de Jacobiaan matrix van de linearisatie in de punten
C^(+/-)=((+/-)sqrt(b(r-a)),(+/-)sqrt(b(r-a)),r-a1) de volgende vorm

m^3+(s+b+1)m^2+(r+s)bm+2bs(r-1)

Er geldt dat puur imaginaire eigenwaarden bestaan voor r_h=s[(s+b+3)/(s-b)-1)]
vraag1.Ik begrijp niet hoe r_h bepaald is.

Voor r in (0,1) kun je de Lyapunov functie
V(x,y,z)=rx^2+sy^2+sz^2
gebruiken om te laten zien dat de oorsprong globaal stabiel is.Ik moet dus laten zien dat
V'=-2rsx^2-2sy^2-2sbz^2+4rsxy 0

vraag2.De eerste drie termen zijn negatief maar de laatste term kan neg of pos zijn.Ik begrijp hierdoor niet hoe je moet aantonen dat V'0.

Veel groeten,
Viky

viky
12-10-2005

Antwoord

1. Blijkbaar moet het polynoom te oontbinden zijn als (m-pi)(m+pi)(m-q); als je dit weer uitvermenigvuldigt komt er (m^2+p^2)(m-q)=m^3-qm^2+p^2m-p^2q. Hieruit volgt dat s+b+1=-q, (r+s)b=p^2 en 2bs(r-1)=-p^2q. Maar dan volgt (s+b+1)(r+s)b=2bs(r-1), hieruit kun je r oplossen.
2. Haal -2s buiten de haakjes: -2s(rx^2-2rxy+y^2+bz^2); met kwadraat afsplitsen komt er dan -2s((r-r^2)x^2 + (rx-y)^2+bz^2).

kphart
18-10-2005