WisFaq!

Nulpunten van een complexe veelterm

beste mensen,
Onder de titel los de volgende vergelijkingen op kregen we de volgende veelterm:
z³+(2i-4)z²-2(6i+1)z+(8-1)=0

Bij de uitgewerkte oefening begon men ommiddellijk met Horner te delen door -i zodat bovestaande veelterm (z+i)(z²+(i-4)z-8i-1)=0 werd.
Mijn vraag: hoe weet men dat je door -i moet delen?

vast bedankt

Jonas
9-10-2005

Antwoord

Als het je bedoeling is met behulp van een gekende factor de oplossingen van een derdegraadsvergelijking te vinden dan zoek je eerst altijd voor de hand liggende oplossingen.
Bijvoorbeeld (even met veeltermen met reele coefficienten):
Stel je wilt x³+ax²+bx+c in factoren ontbinden.
Stel de gezochte oplossing is geheeltallig dan is deze oplossing een factor van c. De eenvoudigste factoren van c zijn 1 en -1: deze controleer je natuurlijk eerst!
Stel x=1 is een oplossing dan moet gelden 1+a+b+c=0. Vandaar de bekende regel: x=1 is een oplossing als de som van de coefficienten 0 is.

Nu z³+az²+bz+c=0.
Je zoekt eerst ook weer eenvoudige oplossingen; naast z=±1 liggen natuurlijk ook z=±i voor de hand daar i en -i ook factoren zijn van ieder complex getal. Dus je controleert eerst ±1 en ±i!
Goed, wanneer is -i een oplossing?
Als (-i)³+a(-i)²-bi+c=0, dus als i-a-bi+c=0.
De coefficienten zijn in jouw geval a=2i-4, b=-2-12i en c=8-i.
i-(2i-4)-(-2-12i)i+8-i=i-2i+4+2i-12+8-i. En dit is inderdaad nul.

hk
10-10-2005