WisFaq!

Waarom zijn er 5 en niet meer of minder platonische lichamen?

Waarom zijn er 5 en niet meer of minder platonische lichamen?

anyes
20-8-2002

Antwoord

De zijvlakken van een platonisch lichaam bestaat uit een aantal regelmatige en congruente veelhoeken, waarbij elk hoekpunt hetzelfde aantal zijvlakken samenkomen. Dat betekent dat we alleen naar één hoekpunt kunnen kijken om te weten hoe het zit bij alle hoekpunten. Bij een hoekpunt komen in ieder geval altijd minimaal drie zijvlakken bij elkaar.



Laten we eens kijken naar de verschillende mogelijkheden:

1. 3 ribben per zijvlak: elk zijvlak bestaat uit gelijkzijdige driehoeken met hoeken van 60°. Dat betekent dat je 3,4 of 5 zijvlakken per hoekpunt kan nemen (omdat 360°/6=60° kan 6 of meer in ieder geval niet):
   1. 3 zijvlakken per hoekpunt: tetraëder
   2. 4 zijvlakken per hoekpunt: octaëder
   3. 5 zijvlakken per hoekpunt: icosaëder
   
   
2. 4 ribben per zijvlak: omdat 360°/4=90° kan je dus alleen 3 vlakken per hoekpunt nemen:
   1. 3 zijvlakken per hoekpunt: kubus
   
   
3. 5 ribben per zijvlak: elk zijvlak is een vijfhoek met hoeken van 108°. Omdat 360°/108=3,33... kan je alleen 3 vlakken per hoekpunt nemen:
   1. 3 zijvlakken per hoekpunt: dodecaëder
   
   
4. 6 (of meer) ribben per zijvlak: elk zijvlak is een zeshoek met hoeken van 120° (of meer) enomdat 360°/120=3 kan je hiermee niet uit de voeten.

Dus al met al zijn er niet meer mogelijkheden dan vijf.

WvR
21-8-2002