WisFaq!

Grafiek van goniometrische functie

Hallo,

Jullie hebben me de vorige keer goed geholpen waarvoor dank!Hopelijk kunnen jullie me deze keer opnieuw helpen..
Ik zoek het verloop van de eerste en tweede afgeleide (in tabel met + en -) van

a) f(x) = (2cosx - 1)²
f'(x) = -4sinx (2cosx-1)
f"(x) = -4 (4cos²x - cosx - 2)

b) Waar ik al helemaal niet meer aan uitkan ..
Hier vraag ik buiten het verloop ook om me te helpen met het domein, nulpunten en eventuele sym te zoekn)
f(x) = 2Bgtan (-x+1)
f'(x) = -2 / x²-2x+2 (weet niet zeker of dit klopt..)
f" (x) = 4x-4 / (x²-2x+2)²

Alvast bedankt!

Elke Stoffels
28-9-2005

Antwoord

Dag Elke

De afgeleide van de eerste functie is geschreven als een product van 3 factoren waarvan je het teken kent of kunt bepalen.
1) -4 is steeds negatief
2) de nulpunten van sinx zijn 0,p en 2p
3) de nulpunten van 2cosx-1 zijn ^p/₃ en ^5p/₃
Maak nu je tabel met deze nulpunten in de juiste volgorde.
Je moet nu in één interval het teken bepalen; dat kan het best in het interval dat ^p/₂ bevat; dan is sinx0, 2cosx-10 en -40; dus de afgeleide is in dit interval is dus positief.
Bepaal nu het teken in de andere intervallen.
Als je het teken van de tweede afgeleide wilt bepalen, kun je deze weer beschouwen als een vierkantsvergelijking (met niet zo mooie nulpunten!).

De tweede functie is een cyclometrische functie; het gaat om hoeken (f(x)) waarvan je de tangens kent (-x+1).
De tangens kan alle waarden hebben; het domein is dus R.
De hoeken zelf liggen tussen -^p/₂ en ^p/₂ (bereik).
De hoek is nul (nulpunt) als de tangens gelijk is aan nul (x=1).
Je kunt gemakkelijk zien dat de eerste afgeleide steeds negatief is.
Het teken van de tweede afgeleide is normaal geen probleem (heeft één nulpunt).

Je kunt ook vertrekken van de functie y = Bgtan(x) en drie transformaties toepassen:
2Bgtan(-x+1) = -2Bgtan(x-1)
1) x-1 : horizontale translatie over (1,0)
2) factor 2 : verticale uitrekking met als factor 2
3) minteken : spiegeling om de x-as

LL
28-9-2005