WisFaq!

Re: Re: Eigenwaarden

Hoi,

A)Ik begrijp niet hoe je de oplossingen voor y en z moet berekenen:
y=1
z=(-2k)/(m+sqrt(m2-4k))

stelsel
(1) [(m-V)/2] y + z = 0
(2) -ky -[(m+V)/2]z = 0

Ik heb geschreven z=-[(m-V)/2] y en dit gesubstitueerd in (2).Maar dan krijg ik [-k+((m^2-v^2)/2)]y=0.
Ook heb ik geschreven y=-z/[(m-V)/2] en dit gesubstitueerd in (2), maar ook dan krijg ik iets*z=0 en vind ik niets voor z en y.
Ik begrijp niet wat ik fout doe.

B)De uiteindelijke oplossing is x(t)=PE(t)(P^-1)x(0),
maar in dit probleem geldt y(0)=0, maar dan vermenigvuldig je PE(t)(P^-1) met (0 0)^T en dan krijg je een nulmatrix?

Groetjes,
Viky

viky
25-9-2005

Antwoord

A) Je hebt bij eigenwaarden altijd te maken met een zogeheten ondergedetermineerd stelsel: dat betekent dat de verschillende vergelijkingen niet allemaal lineair onafhankelijk zijn. Specifiek voor een 2*2 stelsel betekent het dat de ene vergelijking een veelvoud is van de andere. Nu is dat in dit geval niet op het zicht duidelijk, door de redelijk moeilijke coefficienten. Maar het is wel zo... En als je de substituties doet die je voorstelt, dan zou dat moeten resulteren in een vergelijking 0=0.

Ter vergelijking: het stelsel x+2y=0, 3x+6y=0 is ook in dat geval. Als je dan x=-2y substitueert in de tweede, komt er -6y+6y=0, waaruit je y dus niet kan halen. Dat doet zich hier dus ook voor (merk op dat je een factor 2 bent vergeten bij het invullen)

Er is dus niet 1 oplossing, maar wel oneindig veel. En er zijn eigenlijk geen twee vergelijkingen in het stelsel, maar wel twee keer dezelfde. Dat betekent dus dat je één van je variabelen mag kiezen (meestal stel je die dan gelijk aan 1 om het rekenwerk te verlichten)

B) De x(t) uit je formule is hier een verkorte notatie voor de kolommatrix
[y(t) z(t)]
en x(0) is verkort voor [y(0) z(0)]
waarbij die z nog altijd gelijk is aan y'.
Er is gegeven dat y(0)=0 en z(0)=y'(0)=1.
Dus de x(0) is niet de kolomvector [0 0] maar wel de kolomvector [0 1].
Nu kan je je formule toepassen (tenminste, als je P en zijn inverse bepaald hebt), en het resultaat is een kolomvector met op de eerste plaats y(t), dus de positie op tijdstip t, en op de tweede plaats z(t)=y'(t), dus de snelheid op plaats t.

Christophe.

Christophe
25-9-2005