WisFaq!

Trapezium

ABCD is een trapezium. BC is evenwijdig met AD. M is het midden van AB en N het midden van CD. Vier keer de oppervlakte van AMND is gelijk aan zeven keer de oppervlakte van MBCN.
bereken |AD|:|BC|

petronella
16-8-2002

Antwoord

Eerst maar even een tekening:



Voor de oppervlakte van een trapezium gebruik je de volgende formule:



..met a en b de lengte van de evenwijdige zijden en h de hoogte.

In dit voorbeeld:
4·opp(AMND)=7·opp(MBCN)

Ingevuld:
4·½·(AD+MN)·½h=7·½·(MN+BC)·½h

Nu valt er 't een en 't ander weg:
4·(AD+MN)=7·(MN+BC)
4·AD+4·MN=7·MN+7·BC
4·AD=3·MN+7·BC (1)

Verder geldt:
opp(ABCD)=opp(AMND)+opp(MBCN)

½·(AD+BC)·h=½·(AD+MN)·½h+½·(MN+BC)·½h

Hier valt ook het 't een en 't ander weg:
AD+BC=½·AD+½·MN+½·MN+½·BC
AD+BC=½·AD+½·BC+MN
½·AD+½·BC=MN

Omdat we nu MN hebben uitgedrukt in AD en BC kunnen we dit in (1) invullen:
4·AD=3·(½·AD+½·BC)+7·BC
4·AD=1½·AD+1½·BC+7·BC
8·AD=3·AD+3·BC+14·BC
5·AD=17·BC
AD:BC=17:5

WvR
16-8-2002