WisFaq!

Kwadrateren en ongelijkheden

Bewijs: voor iedere x Î geldt: als x¹0, dan x²0. Dit heb ik bewezen door: Zij x Î. Neem aan dat x¹0. Dus x0 of x0. Stel xo, dan is x een positief getal. x²=x·x dus een positief getal vermenigvuldigd met een positief getal dus is de uitkomst ook een positief getal dus x²0. Stel x0, dan is x een negatief getal. x²=x·x dus een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal dus is de uitkomst een positief getal dus x²0. Conclusie: bewering klopt. Is dit een juist bewijs???
Bewijs: voor iedere x,y, Î geldt: als 0 x y, dan is x²y². Dit is een erg logische stelling, maar ik vind het moeilijk om een bewijs te verwoorden. Kunnen jullie mij helpen?

Bedankt voor de moeite,

loes
13-9-2005

Antwoord

Beste Loes,

Je eerste bewijs ziet er goed uit. Qua notatie zou je de absolute waarde kunnen gebruiken.
Voor x 0 is x = |x| dus is x² = |x||x| en dat is steeds positief.
Voor x 0 is x = -|x| dus is x² = (-|x|)(-|x|) = |x||x| en opnieuw positief.

Voor 2 volgt uit het gegeven dat: x y Û x-y 0
Te bewijzen: x² y² Û x²-y² 0 Û (x-y)(x+y) 0

De som van 2 positieve getallen is positief, dus de factor (x+y) is positief.
Uit het gegeven weten we dat (x-y) negatief was, dus het product van deze factoren is inderdaad ook negatief ( 0).

mvg,
Tom

td
13-9-2005