WisFaq!

Zoek de snelste verbinding Afgeleiden!

In een woestijn zijn 2 steden A en B 50 km van elkaar verwijderd. Stad A ligt op een spoorlijn. Om een snellere verbinding tussen deze 2 steden tot stand te brengen, besluit men een nieuw station te bouwen op de spoorlijn en een busverbinding (via een rechte weg)van stad B naar dit nieuw station in te leggen. De gemiddelde snelheid van de trein zal 80 km/u zijn, die van een bus tussen B en het station 40 km/u. Waar op de spoorlijn moet het stion gebouwd worden om de sneste verbinding tussen A en B te realiseren?

Deze vraag moeten we dus m.b.v. afgeleiden (analyse)oplossen. Maar ik weet niet hoe ik aan dit vraagstuk moet beginnen. Kunnen jullie me op weg zetten?

P.S. de afstand van B tot de spoorlijn is 30 km.

Melissa
11-9-2005

Antwoord

We noemen de loodrechte projectie van B op de spoorlijn B' en het station S.
Uit de gegevens volgt direct dat AB' is 40.
We kiezen AS=x. Dus SB'=40-x.
Bekijk nu onderstaand plaatje:

We berekenen BS met behulp van de Stelling van Pythagoras: BS=Ö(30²+(40-x)²)
De totale tijd die je dan nodig hebt om van A via S naar B te komen is
x/80+Ö(30²+(40-x)²)/40.
Deze uitdrukking kun je dan middels differentieren minimaliseren.

hk
11-9-2005