We lossen de differentiaalvergelijking op. We gebruiken de r-as. De r-as is een as met het middelpunt van de aardbol als oorsprong. We gaan er van uit dat we een voorwerp laten vallen op tijdstip t=0, vanop een hoogte r=r0. We geven het voorwerp geen beginsnelheid mee. We zoeken nu r(t), opdat we op elk tijdstip zouden weten hoe ver het voorwerp nog van het middelpunt van de aarde is.
Hou in het achterhoofd dat de snelheid van het voorwerp de afgeleide is van r(t) en dat de versnelling van het voorwerp de tweede afgeleide is van r(t). Onderstaande berekeningen aarden uit in de functie t(r). Dit is de inverse functie van r(t). In de berekeningen wordt G=1 en M=100 gesteld. Dit klopt natuurlijk niet met de fysica, maar zo verschijnen er niet al te veel komma's in de uitkomst.
We kennen nu dus t(r), maar niet r(t). Dit is niet erg, als we de grafiek tekenen zien we op de vertikale as de tijd en op de horizontale as r = de afstand van het voorwerp tot het middelpunt. Je ziet dat voor t=0, de afstand r=2. Dit is conform onze beginvoorwaarde r0=2.
In die je r(t) wil zien in plaats van t(r) moet je de inverse zoeken van t(r), want inverse[t(r))] = r(t). Het is echter onmogelijk het gevonden functievoorschrift t(r) te inverteren. Je kan dus alleen de grafiek inverteren, dit kan door t(r) te spiegelen rond de rechte y=x. We bekomen dan:
Hopelijk ben je hier iets mee. Zoals je ziet is het niet eenvoudig. Je kan de gevonden functie fysisch realistisch maken door de echte waarden van M en G in te vullen en bijvoorbeeld een beginafstand r0 van 10 000 meter te kiezen.
Groetjes
Igor
15-9-2005