de opdracht:
bewijs dat voor elke nÎ:13+23+....+n3=1/4n4+1/2n3+1/4n2.
ik kan bewijzen dat n=1 klopt
immers voor n=1 Þ 13=1/4´14+1/2´13+1/4´12 =1/4+1/2+1/4=1
vervolgens heb ik geprobeerd n+1 te bewijzen:
13+23+...+n3+(n+1)3=(n+1)3+1/4n4+1/2n3+1/4n2)
=n3+2n2+n+n2+2n+1+1/4n4+1/2n3+1/4n2 =1/4n4+11/2n3+31/4n2+3n+1
nu loop ik echter vast of ik heb het fout gedaan. zouden jullie me kunnen helpen?
D.
7-9-2005
Hallo,
Nadat je hebt aangetoond dat het klopt voor n = 1, veronderstel je dat het klopt voor n = k (dit is de inductiehypothese). We veronderstellen dus dat geldt:
13 + 23 + ... + k3 = k4/4 + k3/2 + k4/4
Nu willen we ook bewijzen dat dit geldt voor n = k + 1, dus dat:
13 + 23 + ... + k3 + (k+1)3 = (k+1)4/4 + (k+1)3/2 + (k+1)2/4
Je kan dit doen door aan te tonen dat er in beide leden evenveel is bijgekomen. In het linkerlid is dit eenvoudig te zien, de toename is namelijk (k+1)3. Om de toename van het rechterlid te vinden nemen we het nieuwe rechterlid en trekken we het oude er van af. We gaan dan na of de toename ook gelijk is aan (k+1)3. Dus:
(k+1)4/4 + (k+1)3/2 + (k+1)2/4 - (k4/4 + k3/2 + k2/4)
Werk nu in het eerste deel die machten van de tweetermen uit, daarna zal er veel wegvallen. Gebruik (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 en de gelijkaardige formules voor de 3e- en 4e-macht.
mvg,
Tom
td
7-9-2005
#40161 - Bewijzen - Student universiteit