WisFaq!

Verwachtingswaarde en binomiale verdeling

Opgave 1

In de staat Maine is de volgende loterij in trek. Voor 0,5 dollar koop je een spelformulier waarop je een getal van vier verschillende cijfers noteert.
Op het einde van de week worden de formulieren vergeleken met een door een notaris getrokken getal (ook met vier cijfers).
Je wint 2500 dollar als het nummer precies klopt, je wint 104 dollar als je wel de juiste cijfers hebt, maar de volgorde hoeft niet te kloppen. Je moet van te voren opgegeven of je voor de hoofdprijs speelt of voor de prijs van 104 dollar. Voor beide prijzen spelen mag niet.
Bereken de verwachtingswaarde van de winst per formulier voor de prijs van 104 dollar.

Ik weet dat je combinatie(10)moet toepassen.
4
Je krijgt dan 210, maar ik weet niet hoe ik met deze uitkomst de verwachtingswaarde per formulier kan bereken.

Opgave 2

Voor een feestavond zijn 500 toegangsbewijzen verkocht. Deze toegangsbewijzen zijn genummerd van 126412 tot en met
126911. Onderdeel van het feest is de loting. Bij deze loting wordt alleen gelet op het laatste cijfer van het toegangsbewijs. Door het draaien van een rad van avontuur wordt het prijswinnend cijfer vastgesteld. Deze verloting wordt 8 keer gehouden. Hierdoor is het mogelijk dat je op één toegangsbewijs meer dan één prijs wint.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat iemand
a) hoogstens twee prijzen wint
b) precies twee prijzen wint
c) meer dan drie prijzen wint
d) minstens twee prijzen wint

Waarschijnlijk zal ik als ik over één deelopgave uitleg heb gekregen de resterende opgave ook kunnen maken.
Hoe moet ik bij deze vraag de kans op succes uitrekenen.
Ik dacht dat ik 126911-126412=499 + 1 500 moest doen.
Als je bijvoorbeeld het getal 2 als eindcijfer hebt, is de kans dat je succes hebt 50/500. 50 omdat bij de getallen tussen de cijfers 126911 - 126412 50 getallen met cijfer 2 als eindcijfer voorkomt. Maar als ik met deze cijfers reken, krijg ik niet de juiste uitkomst.

Opgave 3

Op een autosnelweg houdt 60% van de automobilisten zich aan de toegestane maximum-snelheid van 120 km/uur. Van de snelheidsovertreders rijdt een kwart zelfs meer dan 140 km/uur. Bij een radarcontrole wordt van 100 auto`s de snelheid gecontroleerd.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat precies een kwart van de automobilisten een snelheid tussen 120 en 140 km/uur.

Jacqueline Knops
14-8-2002

Antwoord

Bij opgave 2:

met het aantal 500 heb je in feite niet zo veel te maken. Het verhaal komt er op neer dat er in de zaal 50 mensen met eindcijfer 0, 50 mensen met eindcijfer 1...... tot en met 50 mensen met eindcijfer 9 rondlopen.
Stel je eens voor dat jouw eindcijfer een 4 is. Op het moment dat degene die de loterij "doet" afroept dat het eindcijfer 4 getrokken is, dan zijn er 50 mensen die zich zullen melden voor een prijs. Bij de tweede ronde zou het eindcijfer opnieuw een 4 kunnen zijn en dan zullen er weer (dezelfde) 50 mensen zijn die zich melden.
Het gaat hier dus om een binomiaal experiment met succeskans p = 1/10 en het wordt 8 keer herhaald.
Bij vraag a krijg je dan P(X2|n = 8; p = 0,1) en dit zoek je in je tabelboekje op of je haalt het uit je GR.
Als de andere vragen nog niet lukken, dan laat je het maar even weten.

Bij opgave 3:
Er is gegeven dat 40 % te snel rijdt, dwz. harder dan 120 km/h.
Omdat 25 % extreem hard gaat (>140 km/h), weet je nu ook dat 15 % tussen de 120 en 140 km/uur rijdt.
Het gaat weer om een binomiaal experiment dat 100 keer wordt uitgevoerd en met een succeskans p = 0,15.
De vraag die ze je stellen komt nu neer op:

P(X = 25|p = 0,15 ; n = 100) en dat haal je óf weer uit je tabel (n = 100 staat daar nog net in), óf je laat de GR het werk doen.
Denk bij gebruik van de GR wel eraan dat je nu BinomPdf moet hebben en niet BinomCdf. Het gaat namelijk om één kans en niet om een cumulatieve kans.

Misschien kun je nu ook met opgave 1 uit de voeten. De spelregel is enigszins gezocht, maar het gaat opnieuw om een bimomiaal proces. Lukt het toch nog niet, dien de vraag dan gewoon nogmaals in.

MBL
14-8-2002