WisFaq!

Bewijs exponentiele en machtsrij

Ik snap dit bewijs niet helemaal.

u_n=n^k en v_n=gⁿ
(k is een natuurlijk getal, g1)

Bewijs dat lim n naar oneindig u_n/v_n=0

Voor nN geldt u_n+1 / u_n = (n+1)^k / n^k 0,5g

Dit stuk snap ik al niet, waarom 0,5g? Daarna gaat het nog verder:

De rij p_k= u_N+k / v_N+k = u_N·g^k / g^N·g^k

Ik zou graag uitleg krijgen, BvD

PastoroVic

PastoroVic
24-8-2005

Antwoord

De eerste stap is inderdaad niet in orde: voor elke n is u_n+1/u_n groter dan 1, en als g2 krijg je het quotient natuurlijk nooit onder g/2.
Wel geldt dat de limiet van u_n+1/u_n gelijk is aan 1; dus geldt wel dat er een N is zs dat u_n+1/u_n g, voor nN. Die N houden we vast. Merk op dat voor nN ook geldt dat u_n+1/u_nu_N+1/u_N, dat laatste getal noemen we h.
Nu gaan we u_n, voor nN afschatten: u_N+1=h·u_N, u_N+2=u_N+2/u_N+1·u_N+1h·u_N+1 en dus u_N+2h²·U_N, ..., u_N+ihⁱ·U_N.
Conclusie u_N+i/v_N+ihⁱ·u_N/g^N+i en dat is (h/g)ⁱ·u_N/g^N.
Omdat hg volgt dat de limiet van (h/g)ⁱ gelijk aan nul.

kphart
25-8-2005