WisFaq!

Verschillen kwadraatgetallen

Het is me opgevallen dat elk natuurlijk kwadraatgetal (dus p², waarbij pÎ ) een verschil heeft met het voorgaande kwadraatgetal.

beetje vage omschrijving, maar wat ik bedoel is:
0²=0
1²=1 verschil met 0²=1, verschil is te schrijven als p+0
2²=4 verschil met 1²=3, verschil is te schrijven als p+1
3²=9 verschil met 2²=5, verschil is te schrijven als p+2
4²=16 verschil met 3³=7, verschil is te schrijven als p+3
5²=25 verschil met 4²=9. verschil is te schrijven als p+4
6²=36 verschil met 5²=11, verschil is te schrijven als p+5
7²=49 verschil met 6²=13,verschil is te schrijven als p+6
8²=64 verschil met 7²=15,verschil is te schrijven als p+7
9²=81 verschil met 8²=17, verschil is te schrijven als p+8
10²=100 verschil met 9²=19, verschil is te schrijven als p+9
etc.

De verschillen klimmen op volgens de oneven getallen en steeds met verschil 2...

Wat is het bewijs hiervoor behalve dat het voor deze voorbeelden geldt? En is er ook zo'n regel voor elke pⁿ, waarbij nÎ?

a
20-8-2005

Antwoord

Iets algemener geformuleerd: De eerste verandering van een kwadratisch verband is lineair. Dat is niet zo lastig om te bewijzen:

Gegeven: f(x)=ax²+bx+c
Te bewijzen: f(x+1)-f(x) is een lineair verband
Bewijs: f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)+c-{ax²+bx+c}=2ax+a+b

Voorbeeld
Neem f(x)=x², a=1, b=0 en c=0. f(x+1)-f(x)=2x+1
x=5 bijvoorbeeld?
f(6)=36, f(5)=25, f(6)-f(5)=2·5+1=11. Klopt!

WvR
20-8-2005