WisFaq!

Volume van een balk maximaliseren in een ellipsoïde

Hallo, ik moet hier een reeks optimaliserings-vragen zien te maken, mbv van de lagrange multiplicatoren, maar het lukt me langs geen kanten, want we zagen daar geen enkele oefening over in de les...

de eerste oefening luidt als volgt:
beschouw de krommen in $\mathbf{R}$³ bepaald door het stelsel :
x²+y²-z²=0
3x+y-5=0
Zoek de punten op deze kromme die het dichtst bij de oorsprong liggen.

En de tweede vraag, waar ik mijn hoofd al veel te veel voor gepijnigd heb is deze:
stel a,b,c$>$0. We beschouwen dan een balk in $\mathbf{R}$³ waarvan de hoekpunten gelegen zijn op de ellipsoïde {(x,y,z) € $\mathbf{R}$³ / ^x2/_a²+^y2/_b²+^z2/_c²=1}.
Bereken het volume van de grootste balk die je zo kan construeren.
Je mag hierbij veronderstellen dat de ribben van de balk evenwijdig zijn met de symmetrie-assen van de beschouwde ellipsoïde.

(ik veronderstel dat ik de ellipsoïde moet parametriseren, nee? zodat ik dan als nevenvoorwaarde dit bekom:
x=acos$\theta$sin$\phi$
y=bsin$\theta$sin$\phi$
z=ccos$\phi$
met $\theta$€ [0,2$\pi$[ en $\phi$€ [0,$\pi$]

hartelijk bedankt voor enige hulp!

Pom
20-8-2005

Antwoord

Hallo

Ik behandel eerst de eerste vraag. De afstand van een punt tot de oorsprong is √(x²+y²+z²). Dit laatste minimaliseren komt op het zelfde neer als x²+y²+z² minimaliseren. Dit komt omdat √(t) een stijgende functie is. Je kan de voorwaarden van het stelsel inbouwen via Lagrange (doe dat zelf eens), maar je kan het ook anders (simpeler). Het gezochte punt moet ook aan het stelsel voldoen, daarom z²=x²+y². Minimaliseer dus x²+y²+z² = x²+y²+x²+y²= 2( x²+y² ). Schrijf nu de tweede vgl in de vorm y=... en substitueer y in 2( x²+y² ). Minimaliseer deze laatste uitdrukking dan naar x, door middel van de afgeleide naar x en het tekenschema. Eenmaal de goede x gevonden kan je y & z vinden via de gegeven voorwaarden (stelsel). Let op, misschien zijn er wel meerdere oplossingen.

De tweede oefening is redelijk eenvoudig. Teken eens een ellipsoïde in 3D. Teken er een willekeurige balk in. De balk heeft zijn 8 hoekpunten allen op de ellipsoïde. De balk is volledig bepaald als de (x,y,z)-coördinaat van één hoekpunt van de balk gekend is. Noem één van de hoekpunten P(x,y,z). Het volume van de balk is dan 8·x·y·z. Je vervangt x, y & z, zoals je zelf suggereert, gebruikmakende van de bolcoördinaten-parametrisatie. Dus het probleem wordt:

MAX 8·[a·cos($\theta$)·sin($\phi$)·b·sin($\theta$)·sin($\phi$)·c·cos($\phi$)]

Je moet dus $\theta$ & $\phi$ zoeken waarvoor bovenstaande uitdrukking maximaal is.

Groetjes

Igor
20-8-2005