WisFaq!

Oplossing differentiaal vergelijking

ik zit opnieuw met een vraag van een oud tentamen.
de opdracht is:
van de oplossing y1 van de DV dy/dx +y/(2Öx) = 1/2Öx) is gegeven:y1(1)=2. Bepaal y1(4) (aanwijzing los de DV op, eÖ^x is een integrerende factor).
Het antwoord op y1(4) moet zijn 1+e^-1

Dit zijn de stappen die ik heb gedaan:
y(x)=1/I(x) ò I(x)f(x)
dus y(x)= 1/e^Öx * òe(Ö^x) * 1/(2Öx)

u=e^Öx
du= e^Öx +1/(2Öx)

y(x)= 1/e^Öx* òu*du = 1/e^Öx + ¹/₂u^2 +C
y(x)= 1/e^Öx + ¹/₂e^x +C
y(x)= 1/e^Öx + e^Öx +C

y(1)=1/e + ¹/₂e +C =2
Vervolgens kom ik op een spoor, welke niet leidt tot het goede antwoord. Waar zit de fout? en hoe moet ik op het antwoord komen?

Jerney
17-8-2005

Antwoord

Beste Jerney,

f'(x) + ^f(x)/_2Ö(x) = ¹/_2Ö(x) Vermenigvuldig beide leden met de nog onbekende functie g(x)¹0.
f'(x)·g(x) + (^f(x)/_2Ö(x))·g(x) = ¹/_2Ö(x)·g(x)
We willen het linkerlid schrijven als (f(x)·g(x))' = f(x)·g'(x) + g(x)·f'(x) want dan hebben we een eenvoudiger linkerlid als we daarna integreren.

Dat betekent dat g'(x) = (¹/_2Öx)·g(x) en dus ^g'(x)/_g(x) = ¹/_2Öx (g(x)¹0). Beide leden integreren levert ln|g(x)| = Ö(x) + c en dus g(x) = d·e^Ö(x) waarbij d een willekeurige constante, kiezen we d = 1 dan hebben we de integrerende factor g(x) = e^Ö(x) gevonden!

Dus f'(x)·g(x) + (^f(x)/_2Ö(x))·g(x) = ¹/_2Ö(x)·g(x) wordt met g(x) = e^Ö(x) dus (f(x)·e^Ö(x))' = ^eÖ(x)/_2Ö(x)

ò(f(x)·e^Ö(x))' dx = ò^eÖ(x)/_2Ö(x)dx

f(x)·e^Ö(x) = e^Ö(x) + c

f(x) = 1 + ^c/_e^Ö(x) Met f(1) = 2 vinden we c = e en de "oplossingsfunctie" is dus f(x) = 1 + e^{1 - Ö(x)}.

Dus f(4) = 1 + e^{1 - Ö(4)} = 1 + e^-1.

Davy
18-8-2005