WisFaq!

Afgeleide van product

Hallo,
Ik heb een vraag betreffende het afleiden van een product. Ik weet deze formule nog:
D[f(x)*g(x)] = f(x)*D[g(x)] + g(x)*D[f(x)].

Nu is het probleem dat ik een afgeleide van de vorm
D[f(x)*g(x)*h(x)] moet berekenen. Bestaat er een soortgelijke algemene formule voor een product van 3 termen?

Het concrete geval dat ik moet oplossen is:
Leid af naar x: xⁿ * e^-mx * [(n/x)-m]

Kunnen jullie mij op weg helpen?

Groeten, Gijs

Gijs
16-8-2005

Antwoord

Een aparte regel is niet nodig.
Als je xⁿ×e^-mx×[n/x-m] naar x wilt differentieren dan kun je dat als volgt doen:
beschouw xⁿ×e^-mx als f en [n/x-m] als g.
De functie is dan van de vorm f*g.
Je krijgt dan als afgeleide:
D(xⁿ×e^-mx)*[n/x-m] +xⁿ×e^-mx*D([n/x-m])=
(nx^n-1×e^-mx-mxⁿ×e^-mx)*[n/x-m]+xⁿ×e^-mx*(-n/x²).

Een alternatief is eerst de vierkante haken in xⁿ×e^-mx×[n/x-m] wegwerken, je krijgt dan
nx^n-1×e^-mx-mxⁿ×e^-mx.
Deze functie kun je gewoon met de productregel differentieren.

Tot slot: als je perse een regel wilt hebben:
D(f*g*h)=D((f*g)*h)=D(f*g)*h+f*g*D(h)=
(D(f)*g+f*D(g))*h+f*g*D(h)=
D(f)*g*h+f*D(g)*h+f*g*D(h)

hk
16-8-2005